Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
притти к цели,'не учитывая вышеупомянутых особенностей, а систематически
применяя теорию вековых возмущений. При этом мы будем производить наши
вычисления двумя способами; первый- исследование вековых движений
вырождающих угловых переменных и переменных действия, фигурировавших при
рассмотрении кеплеровского движения в полярных координатах. Второй
способ, являющийся более пригодным для геометрических процессов
возмущения, имеет то преимущество, что он распространяется на больший
круг явлений. (скрещенное электрическое и магнитное поле).
Запишем функцию Гамильтона в форме
(1)
причем
(2)
н~н0+\ни
Иа
Rf№_
J °г J1
энергия кеплеровского движения без наличия поля и
kH^eEz
функция возмущения (напряжение поля Е можно рассматривать, как параметр
I).
Выразим с помощью правила § 18 среднее значение
Рис. 31.
(3)
Х//а = eEz
через вырождающие угловые переменные и переменны г действия
невозмущенного движения (см. § 22), которые теперь мы обозначим
О _ 0 гО "0 уО
И Ji Ji J3.
Если ! и ¦"]-прямоугольные координаты электрона в плоскости траектории,
отнесенные к ядру, как к началу, и к большей оси, являющейся одновременно
осью Б, то (рис. 31) мы имеем
2 = sin i (? sin 27т cos 2тс -ze?(r);
230
.Средние значения S и к] мы находим из § 22
? = - -^-5а, т)=0.
Это-:коордянати электрического центра тяжести движущегося электрона.
Выражая sin/ и е через У? J% J\, получаем
Угловые переменные w\ и wa3 изменяются. Однако w\ ведет себя циклически,
и Д остается переменной действия возмущенного движения. Таким образом w\
в усредненной функции возмущения является единственной нециклической
координатрй. Следовательно, мы имеем одну новую переменную действия
Ее можно определить из (4), как функцию от Wt, Jl=J\ У3=У°. Беря
интеграл, находим Wit а затем и W, как функцию переменных действия.
Ради сокращения полагаем:
Й
J2=§J°2dw°2.
я
тогда будет:
причем
Г.
Вычисляя из последнего отношения
, получаем:
dwsin82rt(r)3 IB 1 \
dx~ 4it С cos 2ii w\ у x2 A J
dw\ VAC-(x2 - AB)
dx 4Ttifx(A-лг)(л: - В) >/"(A - x) (x - B) - ACx
Следовательно, наш интеграл запишется
/ ^ AC L______________(х1- AB)dx_____________
2~ 4и (r) (А-х){х - В)/{А^-х){х - В) - АСх '
Ввиду того, что подинтегральное выражение есть функция х и корень
представляет квадратическое выражение относительности, интеграл
вычисляется комплексным путем (срав. (9) приложение II)
У2=у(/Л-/Я-/ЛС).
Следовательно,
У-Ц" У> /о2|^|\
2 у Ji 2>еЁа j
Отсюда вычисляем Wlt а именно (если положить = Jt=Js)
I"* 3 dEct , г г г\ т \
Wx=± 2у ' СА Л 2Уа)
и если выразить а по (10) § 22 через У,,
^ "7 /?ASZ* 3?7г2 , ,
(5) Г=--------jr- ± .
Это уравнение переходит в уравнение (13) § 35, если предварительно
положить
У,=j
(6) У, - У3 - 2 /2= + /е.
Ниже мы покажем, что в рамках наших рассуждений область значений Уе
получается та же, что и прежде.
Мы снова имеем квантовые условия (15) § 35 и уравнение энергии (16) § 35.
Займемся теперь исследованием вековых движений, возникновение которых
обязано влиянию электрического поля. Перигелий эллиптической траектории
изменяет свое положение относительно линии узлов, и сама эта линия узлов
вращается равномерно вокруг оси поля. Из уравнения (5) получается, что на
один оборот линии узлов приходится два периода движения перигелия. Это
движение перигелия и сопровождающие его явления проще всего проследить
наглядно на кривой движения в плоскости (w°2, Д) (рис. 32).
232
(7)
Уравнение ее по (4) имеет следующую форму:
*i
где для сокращения мы положили
2кЧ?г
%EanJt
-Кг.
1
Она симметрична относительно прямых w% = -^- или w2 =
1
_3_
4
Если W\ = 0, то w\ равно 0 или , или Д имеет одно из зна
чений Д и У°. Если же ^<0, то w% не может больше принимать значений 0 или
-тр a Д значений Д и Д.
Кривая находится в прямоугольнике
1
0, Д=Д, Д=Д.
Если \Wt\, достатонно мало, w\ только тогда не лежит вблизи 0
или когда Д находится близко
возле Д или Д (рис. 32).
Кривая тесно примыкает к упомянутому четырехугольнику и для 1^ = 0
переходит в периметр прямоугольника. Для большого IJFjI кривая
свертывается и до w\ принимает такие значения, которые лежат вблизи (sin
2 я да(r)=1), а затем и само
это значение? при этом она свертывается в точку. Для > О получается то же
самое, только предельная точка находится при
3
4*
Точки поворота w\ лежат там, где 2kwI имеет минимум или
где
1
ОТ1'
д\г д
имеет максимум, причем Д и Д, следовательно,
Л\2 UW
хд)
остаются постоянными.
ТО
233
Функция (1-дс) (1-.у) с побочным условием xy=const есть максимум, когда
х=у. Следовательно wl испытывает вращение, когда
(8)
Таким образом Д является геометрическим средним У? и У?. ВекЬвые движения
пути под влиянием электрического поля теперь имеют следующий вид: за
время одного оборота линии узлов перигелий эллиптического пути совершает
два колебания вокруг меридиональной плоскости, перпендикулярной к линии
узла. При переходе через эту меридиональную плоскость об-
J0
щий импульс максимальный и, поэтому, эксцентрицитет
