Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
^pdq-J+ const удовлетворял бы тому же требованию. Действительно,
преобразование (%а) -> (w, J), удовлетворяющее требованию периодичности,
содержит рядом с фазовой постоянной для w еще произвольную постоянную. Ее
"./
производящей функцией будет V=±^r + ct-o -(-с, J. Приведенное выше
определе-
0"
ние J в квантовой теории оказалось очень плодотворным.
Ьорн-409-4 4Q
(3) (r)i=vj+p.
Так как w мы выбираем так, чтобы оно после каждого периода движения
увеличивалось на 1, то v будет положительным числом, и притом числом
периодов в единицу времени, т. е. частотой движения.
Далее ич v>0 следует, что W является монотонно растущей функцией У. Зная
сопряженную с а и переменную <р, можно найти У из уравнения
y=<j>afi?tp= +ай>.
Тогда уравнения преобразований будут
У= + юа w- + -г-.
- - о)
Приведенное выше определение У, как приращение 5 за время одного периода,
имеет то следствие, что функция
(4) S*=S - wJ
является периодической функцией w с периодом 1.
Можно также использовать это требование для однозначного
определения величины У с помощью§dw= 1 вплоть до аддитивной постоянной;
при этом приходим к уравнению (1). Функцию S* также можно вместо 5
рассматривать, как производящую канонических преобразований, сводящую q н
р к w и J. По §7
5 удовлетворяет уравнению
>¦ ds pq.-WJ+-
из чего для 5* следует
а это говорит о том, что S*-производящая функция преобразований
(5) J--^S-(q,w).
Вычисление интеграла У требует исследования зависимости между q и р,
дающейся уравнением
(6) H(q,p)-W.
50
Эта зависимость изображается группой кривых (с параметром W) в плоскости
(р, q). Случаям либрации и вращение соответствуют характерные рисунки.
При либрации должна необходимо существовать замкнутая область кривой, и У
обозначает замкнутую площадь (являющуюся по (19j § 7 каноническим
инвариантом).
При вращении р должно быть периодической функции q с периодом 2гс, и J
должно обозначать площадь, ограниченную кривой, осью q и двумя
ординатами, находящимися на расстоянии Для наглядного представления
рассмотрим это с точки зрения классической механики, взяв за основание
покоящую* ся систему -координат.
и q", между которыми
оно положительно; тогда Рис 2. Рис. з.
р будет исчезать только
на концах интервала (q,q"). Чтобы из обоих ответвлений кривой
(6) могла получиться кривая, остающаяся при обходе замкнутой,-
необходимо, чтобы щ для q' и q' была бесконечно малой.
Далее имеем
q' и q' - простые нулевые положения подрадикального выражения.
В этом случае возникающий обход кривой, симметричный относительно оси q,
имеет тот же обход, что и кривая, так как по (8) § 5
и произведение pdq всегда положительно; при этом необходимо при одном
обходе (dq > 0) сперва совершать обход по верхнему (р > 0) разветвлению,
а при обратном обходе (dq< 0) по нижнему разветвлению.
Координата q описывает всю область между нулевыми положениями q' и q".
Эти нулевые положения представляют пределы либрации. Если варьировать W,
то все соответствующие кривые ^ягут одна внутри другой, не пересекаясь.
Чтобы наступила либ рация, подрадикально< выражение должно имет: два
нулевых значения q
" I^ATAfM.UI
ро (8) § 8 имеем
Ы
При уменьшении W нулевые положения смещаются друг к другу и сходятся в
одну точку, лишь бы между ними не появлялись новые нулевые положения. Эта
точка называется центром либрации, в котором
dU "
dq
Она соответствует устойчивому положению равновесия системы, потому что
движение, возникающее при незначительном изменении начальных условий,
остается вблизи ее. Если между q' и q" появляются новые нулевые
положения, то в первое мгновение они сливаются, при этом также
?-°-
dq
Но здесь мы имеем дело с неустойчивым положением равновесия, ибо при
незначительном изменении W движение не остается в непосредственной
близости от точки равновесия. При увеличении W может наступить такой
сл>шай, когда
dU
при q и q производная исчезает; в
этом случае мы также имеем дело с неустойчивым положением равновесия.
Для других значений W движение асимптотически во времени приближается к
неустойчивому положению равновесия. Тогда говорят о предельном движении.
Для наступления вращательного движения необходимо, чтобы U бь'ла
периодична в отношении q (мы понимаем период в 2 гс); далее,
подрадикальное выражение всегда должно быть положительным.
Для более наглядного объяснения этих понятий, рассмотрим колебание
маятника, при котором возможны все три случая: вращения, либрации и
предельного движения.
Сравнивая с (10j § 8, имеем
р = VI. Л / W+D cos q D > О-
Кривые (6) имеют вид, изображенный на рисунке 5.
Для W= - D кривые стягиваются к центру либрации <7 = 0; Для - D <W <D
имеем либрацию между пределами
Я' = arc cos
<7 = -arc cos
(-?)•
52
Напротив, для W > D мы имеем вращение, при котором маятник делает обороты
постоянно в неизменном направлении.
В предельном случае H^=Doh приближается асимптотически к положению q - n.
Интеграл
(7) J=<j> j/ 2 A W+D cos qdq
в этом случае эллиптический. Его можно привести к более простому
