Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
причем делокализованные функции содержат случайную фазу, отвечающую
случайной части в гамильтониане Не.
Определенное таким образом ^-представление отличается от узельного
представления в идеальной решетке, основанного на использовании функций
Ваннье. Последние образуют полную систему локализованных функций, которые
не являются собственными функциями гамильтониана и не отвечают
определенной энергии. Функции г|^ (х) - собственные функции гамильтониана
задачи, отвечающие собственным энергиям Ех, однако они локализованы,
вообще говоря, не при любых энергиях, а лишь в определенной области
спектра собственных значений Е%. Кроме того, точки локализации функций
г|п(х) случайны, а вид функций меняется при переходе от одного состояния
к другому. Это создает дополнительные трудности при работе с функциями
фл(х), особенно в тех случаях, когда оказывается недостаточным
ограничиться асимптотическим их поведением на больших расстояниях от
точки локализации.
Возможен и другой подход, основанный на выборе в качестве базиса системы
функций, аналогичных атомным орбиталям в методе сильной связи (X.
ВеттГер, В. В. Врыксин, 1975) . Пусть
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН В Х-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
197
потенциальную энергию в гамильтониане можно представить в виде суммы
членов, отвечающих отдельным центрам (узлам) или отдельным потенциальным
ямам: V =X,Vm(x), где т -
т
номер центра (для простоты здесь не учитывается спин). Пусть, далее,
атомные орбитали Фт^(х) представляют собой решения уравнения
^т)Фт5(х) = ?т5Фт5(х), (2.3)
где -гамильтониан с потенциальной энергией Vm{x), а индекс ? нумерует
собственные состояния уравнения атомного типа (2.3). Заметим, что
волновые функции (рт^ разных ям не-ортогональны - соответствующие
интегралы неортогональности
^ Фmi (х) Фт'|' (х) dx отличны от нуля при т Ф т!. При рассмотрении
явлений, обусловленных глубокими флуктуационными уровнями, обычно бывает
достаточно ограничиться только основным состоянием в каждой яме (§ III.
2). Пусть это состояние описывается волновой функцией срт(х). Тогда в
пространстве функций фт(х) гамильтониан Не в представлении вторичного
квантования принимает вид
Яе = ? Ёта+йт + ? / (т, т') а+ат" (2.4)
т тт
где а+, ат - операторы рождения и уничтожения электрона в
СОСТОЯНИИ фт,
= S Фт W ЯеФт <Х) йХ' (2-5)
а 1(т,т') есть обычный интеграл перекрытия:
/ (т, т') - J ф^ (х) Нефя, (х) dx. (2.6)
Если под m понимать лишь индекс центра локализации, то гамильтониан (2.4)
оказывается уже усеченным - базисная система содержит лишь первые
собственные функции уравнений
(2.3), отвечающие отдельным потенциальным ямам. Это обстоятельство может,
однако, оказаться несущественным, если речь идет о глубоких
локализованных состояниях, когда систему функций фт(х) можно приближенно
рассматривать как полную. В этом случае функции тМх) в принципе можно
приближенно представить в виде линейных комбинаций атомных орбиталей;
обратный переход от функций фт(х) к ортонормированной системе функций
¦фя.(х) диагонализует гамильтониан (2.4). Если перекрытие соседних
атомных орбиталей мало, то функция ^л(х). содержит лишь небольшую примесь
атомных волновых
198
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
функций соседних узлов (с отличающимися энергиями). При этом матричные
элементы, построенные на функциях г|з*,(х)" близки к матричным элементам,
вычисляемым с атомными орбиталями фт(х).
Использование той или иной базисной системы функций, коль скоро она
полна, диктуется, разумеется, лишь соображениями удобства. В дальнейшем
нам представляется более удобным работать с полной ортонормированной
системой функций гря.(х) из (2.1), которые в области энергий Ev<C.E<C.Ec
отвечают локализованным состояниям.
Запишем теперь полный гамильтониан системы в А-пред-ставлении. Наряду со
слагаемым (2.2) в него входят еще гамильтонианы взаимодействия электронов
с фононами, друг с другом и с внешним полем, а также гамильтониан
фононов.
Гамильтониан электрон-фононного взаимодействия в конфигурационном
представлении запишем в обычном виде, линейном по нормальным координатам
атомной матрицы Qq:
Не, ph = 2 Еq (х) Qq.
Я
Переходя к A-представлению, получим
Яе> Рь = Z {B&aUx'bq + э. с.}. (2.7)
IX'q
Индекс q здесь обозначает совокупность квантовых чисел, характеризующих
колебания решетки, для длинноволновых акустических колебаний это есть
просто волновой вектор фонона (см. § II. 4); bq, bq- операторы рождения и
уничтожения фононов, а В1К, есть матричный элемент величины Bq(x), взятый
с волновыми функциями iMx). Обобщенные координаты и импульсы связаны с
операторами рождения и уничтожения фононов bq обычными соотношениями:
Q?= VHi _г-_А=^{2Я)
49 л/2 dQq i"j2
Всюду в дальнейшем при рассмотрении колебаний атомной матрицы мы будем
ограничиваться гармоническим приближением. С учетом (2.8) гамильтониан
колебаний атомной матрицы принимает стандартный вид:
ЯРь = Е'/О- (2.9)
Вообще говоря, суммирование в (2.9) включает в себя все типы колебаний, в
