Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся сначала к сравнительно простому, но важному случаю "малых
времен":
t<tc. (7.4)
Тогда, как объяснено в конце предыдущего параграфа, при разложении
функции Грина по отклонениям от основного члена ехр (--§\Р/2) для функции
Грина получается приближенное выражение
ОЛО-
~ G<0) (0 ехр (- ф,/2/2) | I + ----^ (r) [г (т)] exp {QK [г (т)]} X
t t .
X $ dr dr' exp [- a | г (т) - r (t') | ] J.. (7.5)
0 0 )
Здесь фигурирует уже сравнительно простой континуальный интеграл. Положим
t t
1 If S ^ ^ Sd% Sdx'ехр г г (т/) I} (7-6)
0 0
и перейдем к фурье-образу W (г):
7 (*>=- ^ (dx (dx' w S x
о 0
X -Jj- 5 ^ tr (T)] exp {QK [г (т)] + гкг (т) - /kr (t')} =
t t OO
^SdrSdr'S J+Zr j^k'x~т'>*>• (7-6')
0 0 0
Континуальный интеграл J\ берется элементарно:
/,(*, т-т', 0 = ехр[-|й2ф(1 -Р)], Р = iLz.r' I . (7.6")
182 гл. III ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Введем новые переменные:
s = k/a, у - 2(т - т')/1 - I, г2 = (1/8) а2/ (1 - у2). (7.7)
Тогда после несложных преобразований получим
I оо
J (t) =----^ dy 5 ds s2 ехр ---------------(s + /)zsj . (7.8)
Здесь уже допустимо разложение по zs ~ (*/*с) ^з/12- В результате
несложного интегрирования находим, отбрасывая слагаемые высшего порядка
малости по t/tc:
О, т - аТ ("ехр (- i Ч>,<2) + ~^ Ч., [ 1 - ехр (- } *,/>).
(7.9)
Формула (7.9) получена при t < tc. Легко убедиться, однако, что при
вычислении фурье-образа
оо
Gr(?) = ^T$ eiEtGr (t)dl
о
существенны следующие значения аргумента t:
/ ~ | Е |/г|)| при ("большие энергии"),
/ 1/2 при ("малые энергии").
Выражением (7.9) можно пользоваться, если указанные величины меньше tc. В
области малых энергий это условие сводится к неравенству (7.3); с другой
стороны, в области больших энергий принятое приближение оказывается
справедливым, если
(7.10)
Видим, таким образом, что условие применимости квази-классического
приближения определяется не только параметрами материала и а, но и той
энергией, при которой вычисляется плотность состояний. Видимо, так же
обстоит дело и при использовании других приближений.
Рассмотрим сначала случай | Е |<Сф|/2. Здесь допустимо разложение
eiEt~l+iE(. ' (7.11)
Отсюда для плотности состояний при малых энергиях имеем, отбрасывая
второе слагаемое в квадратных скобках в (7.9):
о (Р) = фМ Г (3/4) Е Г (1/4) . _а?_____1_____ " ^
Pl j 1р' 21/4я5/2 + V/4 27/4я5/2 + Ч>!/2 8 s/2 я3/2 ' ' '
§7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr(t) 183
или, в обычных единицах,
Р (Е) =
Г (3/4) m3/V4 / Г (1/4) Е 2тп Eah \
~ 21/4л512 й3 t 23/2Г(3/4) <2 16Г (3/4) }' ( ' }
Первые два слагаемых в фигурных скобках в правой части (7.12')
представляют собой хорошо известный результат квази-классического
приближения [13], последнее слагаемое определяет квантовую поправку к
плотности состояний. Поправка такого вида была получена А. Л. Эфросом
(1970) иным методом.
Согласно сказанному выше, выражение (7.127) оправдано
при
|?|<Ф!/2. (7.13)
С другой стороны, при Е < 0 и | Е l"^1/2 формула (7.9) дает
р(Е) = > ехР2(~ ^ (е_ , (7Л4)
2я | EI 8 д/2 я ^ V^i V V'l'i л/2я/
Первое и второе слагаемые здесь представляют собой, соответственно,
результат квазиклассического приближения и квантовую поправку к нему.
Обратимся теперь к исследованию поведения функции Грина на больших
временах t tc. Здесь надо прежде всего доказать, что круговая орбита
радиуса R0(t) (см. (6.24)) действительно представляет собой точку
стационарности функционала Q[r(r)]. Далее надо будет вычислить
континуальный интеграл по всем траекториям, близким к оптимальным. При
этом вблизи точки стационарности ?(т) естественно разложить функционал
Q[r(r)] по отклонениям от нее. По поводу намеченной программы следует
сделать одно замечание.
Прежде всего следует учесть, что точка стационарности функционала Q
сильно вырождена. Действительно, в силу
(5.12) рассматриваемый функционал инвариантен относительно
произвольного поворота траектории как целого. Это вырождение надо учесть
с самого начала, проинтегрировав expQ[r(r)] по угловым переменным,
характеризующим положение отдельной орбиты. Согласно (6.18) интересующим
нас круговым орбитам отвечают коэффициенты ряда (5.4), удовлетворяющие
условиям
I а01 = | aj | = | bi I, а0= -аь (ab bj) = 0, a" = b" = 0, 2,
(7.15)
Если принять векторы аь bi и [aibi] за базисные в пространстве векторов
а", Ьп при 2, то интегрирование по положениям траектории как целого
сведется к интегрированию по положе-
184 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
ниям жестко связанных между собой векторов ai и Ьь Интеграл по
направлениям одного из них, скажем аь равен 4я, а интеграл по
азимутальному углу второго вектора, Ьь относительно оси, проходящей через
первый, даст еще множитель 2я. (Фактически последнее интегрирование
ведется по положениям вектора
b± = bj - aj '¦¦¦. ^ В результате от пространства первых гар-ai )
моник ai и bi мы получаем
4я • 2я
Ых \ а\йа{\ b±db± J db^...), Л^ = (4)3, (7.16)
О 0 -оо
где bи = ¦ . а точками обозначены интегралы по всем
