Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
отвечающие одночастнчпому гамильтониану, также можно пронумеровать с
помощью дискретного индекса X. Он включает спиновое квантовое число сг и
число т, нумерующее пространственные волновые функции электрона; т может
включать в себя и зоиный индекс /. В области дискретного спектра
пространственные волновые функции локализованы: они убывают при удалении
от некоторых точек (или Rm), называемых центрами локализации (иногда
говорят об узлах, около которых локализованы электроны).
При наличии случайного поля U(х) произвольного вида система с подавляющей
вероятностью никакой пространственной симметрией не обладает. Отсюда
следует, что роль квантовых чисел в областях как дискретного, так и
непрерывного спектра в данном случае выполняют только сама энергия Е% и
спиновое квантовое число ст. В области дискретного спектра к этому набору
может добавиться еще радиус-вектор центра локализации Rm (т - номер
центра). Действительно, состояния с данной энергией могут оказаться
локализованными в разных точках системы. В этом смысле говорят о
вырождении по отношении к величине Rm, которая тогда также может
рассматриваться как "квантовое число" **). Заметим, что условная
вероятность лока-
*) Мы не выписываем явно спиновые аргументы, понимая Gr как
соответствующую матрицу (при X = 0 ив пренебрежении спин-орбитальной
связью эта матрица кратна единичной).
**) Заметим, однако, что в данном случае термин "квантовое число" следует
понимать в несколько условном смысле: компоненты вектора Rm не являются
собственными значениями какого-либо оператора, действующего на
"электронные" переменные. Строго говоря, это - параметры, возникающие
§6*. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ (СТРОГОЕ РАССМОТРЕНИЕ) 37
лизации состояния с энергией Ех в точке Rm, если имеется другое состояние
с энергией ?V в точке Rm'. не обязательно есть константа: она может
зависеть от Е%, Еу и Rm - Rm\ Эту условную вероятность называют
двухуровневой корреляционной функцией. Она определяется статистическими
свойствами случайного поля (см. § III. 3).
В силу (6.7а), (6.76) и (6.8) мы имеем
причем- в зависимости от природы чисел X- сумма по X может обозначать и
интеграл. В силу указанного выше свойства аналитичности Gr мнимую часть
(6.9) следует вычислять, приписывая переменной Е малую мнимую часть ie
(е>0), с последующим предельным переходом е->0. Следовательно,
Нормируя волновые функции -фх в объеме получаем отсюда
что и делает очевидным сделанное выше утверждение о смысле функции р(?).
Действительно, в правой части (6.11) берется сумма по всем вырожденным
уровням, принадлежащим одному и тому же собственному значению энергии Ех.
В отсутствие вырождения индекс X можно отождествить с самой энергией Е%,
и в сумме остается только одно слагаемое.
В случае, когда уровни Ех образуют дискретную совокупность, правая часть
(6.11) представляет собой сумму дельтообразных слагаемых типа (5.9)*).
Если же энергетический спектр
благодаря использованию стандартного адиабатического приближения, в
котором тяжелые частицы считаются неподвижными. Отметим также, что
представление о вырождении по R" имеет только вероятностный смысл, - см,
ниже (текст после формулы (6.11") и гл. II).
*) Следует иметь в виду, что представление о спектре такого типа есть
некоторая идеализация. Дело в том, что фактически всегда имеет место
взаимодействие электрона, наиример, с колебаниями решетки (не учтенное в
гамильтониане (6.6)). Это взаимодействие приводит (при Т Ф 0) к
"размытию" уровней - каждый уровень приобретает конечную ширину, и вместо
6-функций в (6.11) появляются регулярные выражения, характеризующиеся,
однако, более или менее резкими пиками около значений В = Ёд. При
достаточно слабом взаимодействии электронов с фопонамн связанное с ним
уширение уровней, однако, невелк.^о, и в дальнейшем мы его рассматривать
не будем.
Im Gr (х, х; Е) = ± ? | ^ (х) |2 6 (Е - Ек). (6.10)
(6.11)
38
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
непрерывен, то сумма по К фактически представляет собой интеграл и
дельтообразные особенности "замазываются": функция р(?) оказывается
непрерывной (производные от нее могут иметь особенности того или иного
характера).
Определение (6.11) справедливо, в частности, и в задаче о поведении
одного электрона в идеальной решетке. При этом К есть совокупность трех
компонент квазиимпульса р, спинового квантового числа а и номера зоны /.
Пусть разрешенные энергетические зоны не перекрываются. Тогда при каждом
данном значении Е суммирование в правой части (6.11) относится лишь к
одной какой-нибудь зоне, и мы можем ввести представление о плотности
состояний в данной зоне:
р,(?) = -^ ? ЦЕ-Е,), (6.110
Я е I
где символ Я е / означает, что суммирование производится по квантовым
числам К при заданном (равном I) значении номера зоны.
Подчиняя блоховские функции т|зх обычному условию периодичности в объеме
й, имеем предельное соотношение
'Q Yj - ^ (2яЛ)3 S dp(' • •)' р
где точками обозначено выражение, не зависящее от объема й.
