Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
связи электрона со случайным полем", роль которой в данном случае играет
величина 2г|)2. Следовательно, этот результат нельзя получить ни в каком
конечном порядке теории возмущений.
Во-вторых, случайное поле входит в выражение (2.6) так, как если бы мы с
самого начала оставили только квантовую поправку, связанную с
напряженностью случайного поля (она дается тем выражением, которое
подвергалось линеаризации (см. формулу (2.4))). Иначе говоря, в принятых
приближениях
A (s) = (exp {- is3h2 (Vt/)724mf} ). (2.12)
Но тогда "полное" усреднение с функционалом 0>\V\ должно быть
эквивалентно усреднению с некоторой функцией распределения напряженностей
случайного поля S*. Эта функция определяется по заданному функционалу
?P[U] с помощью равенства
Р (g(.) = J 6U 9> [U] 6 (eSi - VU). (2.13)
Вычисляя функциональный интеграл в (2.13), получаем для гауссова
функционала ^[?/] (Б. Эссер, 1972)
Р (g;) = (Зе2/2яг])2)3/2 ехр {- Зе252/2г|>2}. (2.14)
-Выполняя усреднение в формуле (2.12) с функцией Р(вг) (2.14), получаем
опять выражение (2.6). Таким образом, формула (2.8)
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ
293
эквивалентна представлению
е (<о) = J dStP (St.) eKF (со, S,), (2.15)
где
ekf ((r)> &i) ~
ОО
dS\ dk 6ХР { ~ iS (Е* ~h& + ~ 1 } (2'16)
о
есть интегральное представление для диэлектрической функции при наличии
постоянного электрического поля (эффект Келдыша - Франца).
Возможность представить результат в таком виде не должна вызывать
удивления: в принятом выше приближении мы отбросили слагаемые, содержащие
вторые производные от потенциальной энергии U(г).
Выражение (2.15), с учетом (2.14) и (2.16), эквивалентно предложенному
ранее Д. Редфилдом (1963) и Дж. Д. Доу и Д. Редфилдом (1973 г.) на
основании соображений полуинтуи-тивного характера. Подчеркнем, однако,
что оно оказывается справедливым только для гладкого случайного поля. Для
поля, созданного совокупностью хаотически распределенных в пространстве
заряженных центров, представление (2.15) (с сохранением точного
физического смысла величины P(&i)) оказывается невозможным (Б. Эссер,
1973).
В-третьих, рассмотрим область частот, заметно превышающих оптическую
ширину запрещенной зоны:
S.(Ao-?g)> 1. (2.17)
При этом мы получим из (2.8)
е2 ((c)) = У^СО - Eg. (2.18)
Такая связь ег с частотой характерна для прямых разрешенных переходов в
кристаллических полупроводниках - в отличие от часто наблюдаемой в
аморфных и стеклообразных материалах квадратичной зависимости (1.3.5).
Причина того, что формула
(2.8) не описывает последнюю зависимость, заключается в сравнительно
слабом рассеянии электронов в гладком поле: в условиях (2.17) силы,
действующие со стороны такого поля, почти
не снимают закон сохранения квазиимпульса и практически не
изменяют вида плотности состояний глубоко в разрешенных зонах. Это
позволяет обычным образом ввести комбинированную плотность состояний, вид
которой и воспроизводится выраже-
294
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
нием (2.18). Можно, однако, построить полуфеноменологиче-скую теорию (Б.
Эссер, Р. Кайпер, П. Кляйнерт, 1976), единым образом описывающую обе
зависимости - асимптотику (2.11) и пороговую формулу (1.3.5). Для этой
цели заменим плотности состояний рс и р0 в (1.9) локальными их значениями
(II. 13.2), введя в аргументы функций Грина индексы с, и. Тем самым
неявно принимаются во внимание возможные коротковолновые флуктуации
случайного поля (они могут иметь и другую природу, нежели
длинноволновые). Естественно, результат надо будет еще дополнительно
усреднить по плавным флуктуациям, которые как раз и описываются моделью
гладкого поля, использованной выше в этом параграфе. Таким образом,
вместо (1.9) мы получим
Re а (со) ~ - ^ dE <рс (х, Е) pu (х, Е - /гсо))гл; (2.19)
символ (.. ,)гл означает здесь усреднение лишь по гладкому полю. Это поле
мы будем для простоты считать гауссовым (в асимптотической области это
ограничение несущественно).
В рамках принятой модели плотности состояний рс и р0 надо вычислять с
помощью функций Грина, полученных в Приложении XII. Производя вычисления
в полной аналогии с предыдущими выкладками, описанными в этом параграфе,
мы получаем из (2.19) (в соответствующих интервалах частот) как
экспоненциальный хвост (2.11), так и квадратичный закон (1.3.5).
Формулы (2.8), (2.11) не содержат в явном виде температурных эффектов.
Это есть следствие условий (1.7) и пренебрежения взаимодействием
носителей заряда с фононамн. Очевидно, такая постановка задачи имеет
смысл при достаточно низких температурах (в частности, при Г < ? = S-1).
С другой стороны, при Т Е влияние статического случайного поля становится
не очень существенным и главную роль в образовании хвоста коэффициента
поглощения играют многофононные переходы (А. С. Давыдов, 1968).
Б) Неодинаковое искривление зон*): Uc(x)?= Uv(x). В этом случае говорят о
флуктуациях ширины запрещенной зоны. Локальная оптическая ширина
запрещенной зоны есть
