Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
отсутствует, а оптическая и электрическая ширины запрещенной зоны
совпадают.
§ 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. РОЛЬ СЛУЧАИНвГО ПОЛЯ
285
Отказавшись от предположения а), мы не смогли бы заменить вершинную часть
единицей в формуле (II. 13.6). При этом переход от общего выражения (II.
13.5) к более простому (IV. 11.7) был бы невозможен.
Отказавшись от предположения б), мы должны были бы поставить в (1.5),
(1.8) и (1.6.1Г) знаки усреднения. При этом факторизация подынтегрального
выражения в (1.8) была бы, вообще говоря, невозможна, ибо среднее
значение от произведения не обязано совпадать с произведением средних.
Кроме того, предположение о практическом постоянстве величины
|(?/|у|Я")|2 при наличии случайного поля также представляется менее
оправданным.
В условиях применимости формулы (1.9) частотная зависимость коэффициента
поглощения определяется видом двух плотностей состояний. Положим для
ориентации (Я. Тауц. К. Григоровичи, А. Банку, 1966)
рс (Е) ~ л/Е-Ес 6 (Е- Ее),
. ______1______-¦ (1.11)
р0 (Е - Йсо) ~ У/zco - Е - Ее + Ес 6 (Аш - Е - Eg + Ее),
где 0 - ступенчатые функции*).
Подставляя выражения (1.11) в правую часть (1.9) и выполняя
интегрирование, легко находим
а (со-?е), (1.12)
где
со 0 = Eg/h. (1.13)
Это есть не что иное, как экспериментально полученное соотношение
(1.3.5).
Независимо от явного вида плотности состояний из формулы
(1.9) сразу вытекает необходимость размытия особенностей Ван Хова в
неупорядоченных полупроводниках. Действительно, возможные сингулярности
коэффициента поглощения связаны с законом сохранения квазиимпульса. В
отсутствие такового правая часть (1.9) есть гладкая функция. Это
иллюстрируется, в частности, и формулой (1.12): вместо корневой
особенности при со ->¦ со0 здесь имеет место обращение в нуль по
параболическому закону. Вывод о "размазке" особенностей Ван Хова
согласуется с указанными в § 1.3 экспериментальными данными.
*) Разумеется, таким путем можно получить лишь ориентировочную оценку -
использование формул (1.11) у краев зон, вообще говоря, не обосновано.
286
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
С другой стороны, применение формулы (1.9) для описания коэффициента
поглощения в области "хвоста" (со < со0) было бы, вообще говоря, не
оправдано. По-видимому, есть случаи, когда аппроксимация такого типа
имеет известный смысл, но это каждый раз нуждается в специальном
доказательстве. Известны также и случаи, когда эта формула дает заведомо
неправильный результат (см. ниже, §§ 3, 4).
Обратимся теперь к полупроводникам со случайным полем. Общие соотношения
(1.1) - (1.4), конечно, остаются в силе и здесь. Однако пользоваться
формулой (1.5) теперь, видимо, не совсем удобно (хотя в принципе и
можно), ибо фигурирующие в ней матричные элементы скорости могут довольно
чувствительно зависеть от вида случайной потенциальной энергии U(\). По
этой причине может быть целесообразно выбрать представление, базисные
функции которого не зависели бы от случайного поля. Это всегда можно
сделать, так как функции Грина, через которые выражается комплексная
электропроводность, представляют собой шпуры некоторых матриц [14].
Следовательно, результаты вычислений с ними не зависят от выбора
предст^э-ления. В теории сильно легированных полупроводников роль такого
базиса естественно исполняли блоховские волновые функции задачи о
соответствующем беспримесном кристалле. В общем случае удобно выбрать в
качестве базисных блоховские функции вспомогательной задачи об "идеальном
материале" (§ II. 1, II.8). Интересуясь, далее, не слишком "глубоким"
хвостом, мы можем воспользоваться методом эффективной массы [18], после
чего задача сводится к вычислению правой части (1.5) или (1.8) в
координатном представлении. Пренебрегая по-прежнему корреляционными
эффектами и взаимодействием носителей заряда с фононами, мы получаем
тогда [35,37]
оо
е2 (а) = ^ dx ^ dx' ^ da' [пР (o' - со) - nF (со')] X
- оо
X (im Gr (х, х'; со' - со) Im Gr (х', х; оа')).
Здесь
Г = 7з | ^ dx ис (х) (h/imo) V"0 (х) 2,
ис и uv - периодические части функций Блоха для соответствующих зон; как
часто делается в оптике кристаллических полупроводников, принято, что
зависимостью ис и uv от квазиволно-вого вектора к можно пренебречь.
Для дальнейшего необходимо вычислить фигурирующие в
(1.14) функции Грина как явные функционалы от случайной потенциальной
энергии U(x). Это удается сделать в рамках
(1.14)
(1.16)
§ 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. РОЛЬ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
287
квазиклассического приближения (Л. В. Келдыш, 1962; В. Л. Бонч-Бруевич,
1962; Э. Кейн, 1963).
Изложение основных идей квазиклассического метода можно найти в книге
[13] и обзоре [35] (см. также Приложение XII). Здесь мы только реферируем
основные результаты.
Будем рассматривать два типа случайных полей - гладкое и кулоновское.
Характеристический функционал гладкого гауссова поля дается формулой (II.
7.20), а гладкого поля общего вида -выражением (II. 7.34') при
дополнительных условиях
