Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(2л) J
Р~ Wl/p(^(k))dk; (1Лб)
к — квазиволновой вектор, интегрирование производится по зоне Бриллюэна; /„(?) и fv(E)—функции распределения электронов и дырок по энергиям, равные
и (Е) = [1 + е^]-\ и (Е) = 1 - L (Е); (1.2)
Р = i/kT, F — уровень Ферми, Еп (к) (?'Р(к)) — закон дисперсии электронов (дырок).
Особый интерес в связи с формулами (1.1а) и (1.16) представляет поведение функций ^„(к) и 2?Р(к) вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.
Если дну зоны проводимости соответствует одна точка в зоне Бриллюэна, то это (в кубическом кристалле) должна быть точка к = 0. Тогда для невырожденной зоны
Еп(к) = Е' + Пгкг/2тп, (1.3а)
где Ес и тп — постоянные, тп > 0.
Если дну зоны проводимости соответствует несколько точек в зоне Бриллюэна, ka (а = 1, 2,...), то (по-прежнему для невырожденной зоны)
Еп,а (к) - Ес + 2 ?r (*i ~ mi > С1-36)
i=х,у,г i
5
Энергия Ес соответствует дну зоны, т„ называется эффективной массой электрона, в анизотропном случае (1.36) величины rrii представляют собой компоненты тен-
-1 1 02?»(к) зора эффективных масс mih т^ приве-
денного к главным осям. В системе главных осей имеем мя = тх, mw — ту, тгг - mz, тч = тхг = ... = 0.
(1.4)
В часто встречающемся случае, когда изоэнергетиче-ские поверхности представляют собой эллипсоиды вращения, две из величин одинаковы. Их принято обозначать буквой т± (поперечная эффективная масса), а третью величину называют продольной эффективной
массой и обозначают через т{1.
Соотношения, аналогичные (1.36), имеют место и для невырожденной валентной зоны: в изотропном случае
Er(k) — Ev — %2к2/2тр, (1-Зв)
в анизотропном случае
Ev,a(k)-Ev- 2 2?-(**-*?)*• (*-3г)
i=X,y,Z *
Величина Ев = Ес — Ev называется шириной запрещенной зоны.
В случае вырожденных зон равенства (1.3а), (1.36) несправедливы, и-зависимость Е(к) дается более сложными формулами. Например, если у потолка валентной зоны имеются две вырожденные при к = 0 зоны, го закон дисперсии ?'р(к) вблизи края зон имеет вид
Ер (k) = Ev - (W/2m0) [Ак* ±
± + С2 (к%кгу + к\к\ + к1к2х)]11г},_ (1.3д)
причем знак плюс относится к зоне так называемых
«легких» дырок, а знак минус — к зоне «тяжелых» дырок; то0 — масса свободного электрона в вакууме, А, В, С -г- безразмерные параметры.
В ряде полупроводников с узкой запрещенной зоной даже при небольшом удалении от экстремума существенно сказывается непараболичность зоны. Если предположить, что отклонения от параболичвости связаны со взаимодействием двух зон — валентной зоны и зоны про-
6
водимости, а все остальные зоны расположены достаточно далеко,— то закон дисперсии в рассматриваемых зонах можно приближенно записать в виде
Я (к) = Ес + ШЧ2т + Va(± VК + s/3?2k* - Eg). (1.3е)
Здесь т — параметр, имеющий размерность массы п обычно близкий к массе свободного электрона; знак плюс относится к зоне проводимости, знак минус — к валентной зоне; — параметр, характеризующий «взаимодействие» зон. Закон дисперсии (1.3е) был предложен Кейном. Вводя в (1-Зе) значение эффективной массы вблизи края зоны, т.(0) = ШгЕе/А?Рг, при т(0)<т получаем
Е (к) = Ес + V2 (±. VЕ1 + 2%гкгЕй,'т (0) - Eg). (1.3ж)
Закон дисперсии в таком виде выполняется достаточно хорошо для зон проводимости ряда полупроводников с узкими запрещенными зонами (например, антимонида индия).
Более сложная форма закона дисперсии, также предложенная Кейном, получается при учете вырождения валентной зоны. Формула (1.3е) при этом описывает зону проводимости, Е = ЕС( к), и зону легких дырок, Е —
— E0ii(к), а для зоны тяжелых дырок закон дисперсии имеет вид *)
h (к) = Е„ — Ъ2?/2тя. (1.3з)'
Для простой параболической зоны (1.3а) концентрация электронов дается выражением
п = N СФ172 ("П), v[=(F — Ec)/hT, (1.5)
где величина
. Nc = 2(mnkT/2n%2)3,z ' (1.6)
называется эффективным числом состояний в зоне проводимости, а Ф1/2(л)—интеграл Ферми (см. Приложение 1). В частности, в отсутствие вырождения формула
(1.5) принимает вид (см. формулу (П.2))
п = Nc exp r|. (1.7)
В случае более сложной зависимости Е(к) концентрация может тем не менее даваться выражениями (1.5) и
*) Все указанные здесь законы дисперсии выписаны в «электронной» нормировке энергии. Желая перейти к спектру дырок, надо изменить знаки Еь ; и ?Vi ^.
7
(1.6) с заменой тп на некоторую величину МЛп, называемую эффективной массой плотности состояний в зоне проводимости. Так, в случае (1.36)
