Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
появление наинизшего уровня с энергией Е. Таким образом,
р (Е) ~ [Н (г)] 9 [U (г)] б (Е0 [U (г)] - Е). (2.5)
Иначе говоря, в функциональном пространстве U{г) интегрирование ведется
по гиперповерхности, на которой аргумент 6-функции равен нулю. Главный
вклад в интеграл в правой части (2.5) происходит от окрестности той
"точки" Н0(г), в которой величина 5s[U(г)] максимальна. Записав гауссово
распределение в виде
& [U (г)] = N ехр {- 5 [Н (г)]}, (2.6)
мы приходим к задаче о нахождении минимума функционала 5 при условии
E0[U(r)] = Е. Решение этой задачи даст нам основную, экспоненциальную
зависимость плотности состояний от энергии. Интересуясь только ею, мы
можем считать предэкспо-ненциальный множитель в формуле для плотности
состояний просто константой ро соответствующей размерности. Тогда
~ 1п '?цГ'= min 5 [U (Г)] ^ W "]-*• (2'7)
Обозначим через Н0(г) ту оптимальную флуктуацию случайного поля, для
которой достигается искомый минимум:
50 = 5 [По (г)] = min 5 [(?/ (г)] |Bi щ {г)]_Е. (2.8)
Оптимальную флуктуацию П0(г) будем искать из задачи на условный
экстремум:
6{5[П(г)] + р?о[П(г)]} = 0, (2.9)
где р - неопределенный множитель. Согласно (2.2) и (2.6) вариация 65 по
8U = U - П0 есть
65 [П (г)] = J dr dr' В (| г - г' |) По (г') бП (г). (2.10)
Вариация функционала ?0[Н(г)] определяется известной формулой для
поправки к первому собственному значению уравнения
- АФо (г) + U0 (г) ф0 (г) = ?0фо (г). (2.11)
156
ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Эта поправка под действием возмущения 8U(r) дается выра-жением
[ Фо (г)ьи (f) Фо (г) *
6Е° <2Л2>
) Ф0 (г) Фо (г) *
Здесь фо(г)- волновая функция, отвечающая низшему уровню Ео в яме Uо (г).
Поскольку функция U0{г) вещественна, мы можем и ф0 считать вещественной.
Сверх того, она по условию не имеет узлов. Используя формулы (2.10) и
(2.12), находим из (2.9)
dr'B(\r-r' 1) U0 (г') + $-^° (Г)------= 0. /213х
5<*г'ф*(г') {2Л6>
С помощью (2.4) отсюда непосредственно получается выраже-
ние для оптимальной флуктуации U0(г) через неизвестную пока волновую
функцию ф0 основного состояния с энергией Е0 в яме С/о (г):
С/о (г) = -r-f1----\ dr" W (| г - г" |) ф02 (г"). (2.14)
) Ф0 (г') *' J
Функция фо должна удовлетворять уравнению (2.11), а множитель р
определяется из условия Е0 = Е.
Итак, мы получили нелинейное уравнение типа уравнения Шредингера, но с
потенциалом, зависящим от искомой функции. Очевидно, его решение можно
искать в сферически симметричной форме: ф0(г) = фо(г). Действительно,
такой выбор формы искомого решения, с одной стороны, согласуется с
приведенными после формулы (2.4) соображениями о доминирующем вкладе в
р(?) основных состояний в ямах. С другой стороны, это предположение
самосогласовано, поскольку Ф- (г) зависит лишь от |г |, так что, согласно
(2.14), оптимальная флуктуация i/o(г) оказывается сферически симметричной
одновременно с фо(г)'- Параметр р можно исключить, введя вместо фо(к)
новую неизвестную
У (r) - VF Фо (г) { \ Фо2 (О dr' } (2.15)
и включив условие Е0 - Е в уравнение (2.11). Получим
Ау (г) - [ J dr' W (| г - г' |) У2 (г')] У (г) = Еу (г). (2.16)
§ 2. МЕТОД оптимальной флуктуации 157
Граничные условия к этому уравнению таковы:
у(г)-+ 0, U0(r)~* 0 при г -> оо, (2.17а)
где
Uo (г) = - J dt' W (| г - г' |) у2 (г'). (2.176)
Заметим, что функция у (г) не нормирована. Как видно из равенства
(2.176), через нее непосредственно выражается оптимальная флуктуация
потенциальной энергии 7/0(г); следовательно, искомая плотность состояний,
согласно (2.7), (2.8) и
(2.176), определяется формулой
-ln-^-"50 = Y^rrfr'y2(r)4;(|r-r'|)l/2(O. (2.18)
Здесь целесообразно конкретизировать форму бинарной функции ЧДг). Пусть
характерная длина убывания go функции xF(r) мала по сравнению с длиной
затухания функции у (г) в интересующей нас области энергий. Иначе говоря,
пусть
Й2/2т|2>|?|. (2.19)
Это условие подлежит проверке в дальнейшем.
В этом случае в качестве (г) достаточно взять выражение (11.7.37b):
Т(г) = Ф0й(г). (2.20)
Это - случай так называемого "белого гауссова" шума. Ввиду его
относительной простоты этот пример особенно популярен. В одномерной
задаче в такой модели получен ряд точных численных и аналитических
результатов (X. Л. Фриш и С. П. Ллойд, 1960; Б. И. Гальперин, 1965; Г.
Циттарц и Дж. С. Лэнджер, 1967; см. также обзоры [21, 39]).
Подставив выражение (2.20) в (2.16) и (2.18), получим
-JLby(r)-<I>0yZ(r) = Ey(r), (2.21)
-1п-^-"-1ф05^(г)*. (2.22)
Теперь удобно ввести безразмерную координату
х = \ д/2/п | Е | (2.23)
и безразмерную неизвестную функцию
. z(*) = V<^?b(r). (2.24).
158 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Тогда, учитывая еще сферическую симметрию задачи, находим, что искомая
функция z(x) удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению без
параметров
~ 2 + 23 = °. 2-" 0 при *-"оо; (2.25)
при этом энергетическая зависимость плотности состояний
-In ±SML = ^\MLJ^.C (2.26)
Ро Фо 16 тк
оказывается явно вычисленной с точностью до числа
