Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
носит характер эффективного притяжения (§ 5). В условиях притяжения V = -
1/0 < 0.
В гамильтониане (16.1) с членом взаимодействия в виде (19.1) вклады
отдельных центров аддитивны. В самом деле, добавляя для
удобства в правой части (19.1) слагаемое
- ? Fnmo, мы получаем
т, а
я = ? Ят, (19.2)
т
где
Ят = ? (Ета -F)Ama+ V/WW. (19.3)
а
а через F по-прежнему обозначен электрохимический потенциал *).
Соответственно статистическая сумма есть
Z = Sp ехр (- §Я) = П zmt (19.4)
т
где
Zm = 1 -f ехр [- р (Emt - Z7)] + ехр [- Р (Ет+ - F)] +
+ ехр [- р (?m* + ЕМ -2F + V)], (19.5)
а р = 1 /Т. Для среднего числа заполнения состояния т мы получаем
пт = ? пта = Z ? S р е йтд =
= < {^Р [- Р (Е^ - Fy\ + ехр [- Р (Ет, - F)] +
+ 2exp[-p(?m^ + ?m|-2P + V)]}. (19.6)
Функция пто в отсутствие корреляции (У = 0) переходит в обычную функцию
Ферми; с другой стороны, при V > 0 (и при низких температурах) пт имеет
две ступеньки, расположенные при энергиях Е = F и Е - F - V (рис. 9). При
Т - 0 все центры с энергиями, меньшими F-V, двукратно заполнены, цен-
*) В отличие от обычной ситуации, уровень электрохимического потенциала
при Т = 0 не служит здесь границей между заполненными и пустыми
состояниями. По этой причине мы предпочитаем использовать здесь термин
"электрохимический потенциал" вместо "уровень Ферми",
§ 19. ТЕРМОДИНАМИКА В СЛУЧАЕ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ УРОВНЕЙ 147
тры с энергиями между F - V и F заполнены однократно, а центры с Ета > F
пусты. Именно такое распределение отвечает минимальной энергии: если,
например, перенести один электрон с однократно заполненного центра с
энергией, близкой к F (но меньшей F), на центр с энергией Ema>F-V,
образуя двукратно заполненный центр, то выигрыш в энергии за счет
уменьшения энергии электрона будет недостаточен для того, чтобы
компенсировать энергию отталкивания V. При Т Ф 0 ступеньки
Рис. 9. Функция заполнения локальных состояний при наличии отталкивания
между электронами, попадающими на один и тот же
центр.
размываются (рис. 9); ширина областей размытия, как и ширина размытия
обычной фермиевской ступеньки, порядка Т.
Полную концентрацию электронов можно найти с помощью функции (19.6):
= {е*р[-Р№м. - f)]+"р [- р (ЕМ ~ р)1+
Соотношение (19.7) определяет электрохимический потенциал в системе как
функцию концентрации и температуры. Пусть энергия не зависит от спина:
Ет^ = Ет^=Ет. Тогда F0 - значение F при Т = 0 - находится из выражения
т, о
+ 2ехр[-|3(?т* + Em±-2F+V)}}. (19.7)
Fa-V
П
= 2 J р(E)dE+ J р(E)dE,
(19.8)
о
Ео-У
а сдвиг электрохимического потенциала с температурой
148 ГЛ. II, СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
определяется из соотношения
F-V F
п - 2 J p(E)dE + J p(E)dE =
О F - V
= \ dEmр (Ет) +
J *т
О
F-V
ОО
+2S
JT7 - 1Г> \ ехр [- р (Ещ - F)] + ехр [- р {2Ет - 2F + К)] /1п m
dbmp(tm)------------------------------------------- . (1У.У)
Отсюда при низких температурах получаем (Т. А. Каплан, С. Д. Маханти, В.
М. Хартман, 1971)
f-ft-09.10)
Здесь и в дальнейшем мы не делаем специальных предположений о значении
p(F0).
Видим, что в данном случае уровень электрохимического потенциала линейно
зависит от температуры - в отличие от того, что мы имеем в отсутствие
корреляции и в газе делокализован-ных электронов.
Электронный вклад в теплоемкость также легко вычисляется. Мы получаем
^ = 4r[T2-^f\ (19.11)
или, с учетом (19.4) и (19.5),
_д_ (Т2 dzm \ _ Г2 ( dzm \2
ZdT V дТ ) V дТ ) --------
тп
Z2
m
= J dE р (Е) z-2 (?)[^- (г2^-) - Г (^-)2],
О
где zm = z(Em). Отсюда получаем (полагая E--F = Tx)
r-T [ dx n IP I 2*2е~Х+(2х+т2 е-<2*+Ру>+2 (х+$У)2 е^3х+^ . . С°~1
)^ихРКг-Г1 х) [1 + 2е-х + е-(2х+№)]2 ~
"2Г[р(К) + р(К-У)]В, (19.12)
§ 19. ТЕРМОДИНАМИКА В СЛУЧАЕ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ УРОВНЕЙ 149
где постоянная В есть
оо
В= \ rfx-*2*"* т= я2 + 3 In2 2 ^ 19_ (19 13)
J (1+2 e~xf 6
- ОО '
Таким образом, электронный вклад в теплоемкость - того же порядка, что и
соответствующий вклад зонных электронов в металле (при той же плотности
состояний), и также линейно меняется с температурой. Такая же зависимость
характеризует, однако, и вклад в теплоемкость, связанный с особенностями
спектра низкоэнергетических колебаний атомной матрицы неупорядоченной
системы (см. § 4). Последний вклад, по-видимому, преобладает, коль скоро
плотность локализованных электронных состояний в окрестности уровня Ферми
не слишком велика (меньше ~ 1020 + 1021 см-3 эВ-1).
При наличии внешнего магнитного поля напряженности Ж состояния с
противоположными спинами расщепляются:
Ещ\ -Ет рвЖ,
(19.14)
Ф/х) 1 2
1
-V/T О х
Рнс. 10. Функция Ф(*) =
ехр (- х)
1 ^ 1+2 exp (-*) + ехр (-2x-$V)'
- Ет -f- 2 РвЖ.
При этом термодинамические функции зависят от Ж.
Рассчитаем спиновую магнитную восприимчивость системы в слабых магнитных
полях. Свободная энергия ЗГ системы, отнесенная к одной частице, есть
3T = F - T\nZ.
Отсюда для магнитной восприимчивости находим
, д2гт _ ( дгт у
_ / ar2 \ | . Т у m джг \Ш~)
% \дЛ2)т\
