Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где s (q) есть структурный фактор:
N
s(q) = -^-^exp(- tqR*)- (8.7)
i-i
*) Первое и третье из этих ограничений будут в дальнейшем сняты.
90 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
В неупорядоченной системе псевдопотенциал V ответствен как за
возникновение зонного энергетического спектра, так и за появление
дискретных уровней в запрещенной зоне и за рассеяние делокализованных
носителей заряда при низких температурах. Строго говоря, все эти эффекты
следует описывать совместно. Удобно, однако, выделить из набора
коэффициентов V(q) часть, описывающую вспомогательную задачу с
периодическим полем. Для этой цели следует положить
При этом Увсп ф 0 лишь для некоторого дискретного набора векторов q,
соответствующих векторам обратной решетки Ьп вспомогательной задачи с
периодическим полем (q = Ь,,)*).
Задача о вычислении параметров случайного поля сводится теперь к
усреднению величин s(q) и s(q)s(q') при значениях q и q', не входящих в
определение Квсп.
Заметим, что согласно (8.8) функция Квсп- также случайная. Однако, как
объяснялось в § 1.7, измеряемые на опыте параметры зонного спектра суть
величины не случайные. Легко убедиться также, что слагаемые Vi и Квсп
статистически независимы: <УвспFi> = 0- По этой причине мы вправе
усреднять только Vi, не обращая внимания на КВсп-
В дальнейшем мы не будем делать различия между V\ и V, имея в виду
возможность не только указанной выше приближенной постановки задачи.
Обозначим через пат(г) плотность числа частиц в физически бесконечно
малом объеме около точки г (среднее значение этой величины есть Qjj-1).
Как известно ([17],§ 116),
где w есть бинарная корреляционная функция атомов. В пренебрежении
корреляцией в расположении атомов она равна единице. Такая аппроксимация
использовалась в предыдущем параграфе при рассмотрении случайного поля
атомов примеси. В данном случае она, однако, не оправдана.
*) Согласно (8.4) - (8.7)
V(q) - Квсп + V и
(8.8)
<"aT (Ri) "аТ (R*)> = Qo~2 (Ri - Ri) + V 6 (Ri - R2), (8.9)
N
Полагая г = г' + а", где а" - векторы прямой вспомогательной решетки,
видим, что V всп (г) = V' ВСП (г + а").
§ 8. СОБСТВЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ
91
В анизотропной системе функция w могла бы зависеть и от направления
вектора г. Для дальнейшего существенно лишь, что мы рассматриваем систему
без дальнего порядка. Отсюда следует, что корреляция между атомами,
достаточно далеко отстоящими друг от друга, должна исчезать, т. е. должно
иметь место условие w(r) - 1 ->0 при г-* оо.
В силу (8.9) мы получаем
<s(q)> = 6q,0 = -^6(q) (8.10)
и, далее,
<S(q)S(q')> = -^6(q + qO[5(q)-f (2я)3й0"'б(д)]. (8.11)
Здесь
5 (q) == 1 -f йо"1 ^ dr \w (г) - 1] e~Iqr. (8.12)
Функция 5 (так называемая функция интерференции) хорошо
известна в теории рассеяния рентгеновских лучей, электронов и
нейтронов [31]. Она определяет вероятность упругого рассеяния с
изменением волнового вектора на q. Значения ее для ряда волновых чисел
получаются непосредственно из опыта.
Для дальнейшего существенны два точных соотношения, которым удовлетворяет
функция S(q) при q->-oo и q->0.
Во-первых, в соответствии с указанным выше свойством функции ш(г), S(q)-
>1 при q-> оо.
Во-вторых, для термодинамически равновесных систем [17]
lim 5 (q) - йо^Ги, (8.13)
q->0
где к - изотермическая сжимаемость.
В применении к стеклообразным и аморфным веществам, а также к
неупорядоченным твердым растворам справедливость равенства (8.13) не
очевидна, так как флуктуации концентрации атомов там могут носить и
нетермодинамический характер. Величину S(0) для этих систем следует
рассматривать как эмпирически определяемый параметр (он может и превышать
Q0-17V).
Комбинируя теперь формулы (8.3), (8.4), (8.6), (8.11) и (8.12), легко
находим
W ^ = S dq е< ЧГ 1 0 (q)|2 S (q)
(8.14)
92 ГЛ ТТ. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
или, при да (г) = ну (г) и v(q) = v{q),
оо
^ W " 2%гг sin (qr) • 5 (q) v2 (q) dq. (8.14')
о
Удобно ввести здесь безразмерные переменные, полагая q - 2kFx, kp =
(3n2zQol)1/3, где г -число валентных электронов на атом. Тогда
оо
Т (г) - ^ x2v2 (х) S (х) sin (рх) dx, (8.14")
о
где р = 2kFr.
В формулах (8.14) - (8.14") уже выполнен предельный переход от
суммирования к интегрированию по компонентам q. При этом можно не
заботиться об исключении конечного (в крайнем случае счетного) числа
слагаемых с q = brt, ибо функция S(q) гладкая *).
Формулы (8.12) - (8.14) легко обобщаются на случай соединения. Пусть
индексы а, а' нумеруют типы атомов (или ионов). Тогда вместо одной
корреляционной функции да появляется набор шаа, (г) и, соответственно,
вместо S(q) мы имеем дело с функциями
Saw (q) = baa, + (QJ'Q"'1)172 J dr [waa' (r) - l]e1^. (8.15)
Здесь ?"' есть средняя концентрация атомов данного типа, а баа' - символ
Кронекера.
При q-* оо мы имеем Saa'^ baa'] далее (в термодинамически равновесной
системе),
lira Saa' (q) = Ту (QaQа')~ш. (8.16)
q-"0
Для корреляционной функции случайного поля получаем теперь
