Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
к, к'
С другой стороны, как мы увидим, ядро В непосредственно связано с
корреляционной функцией Ч'. Поэтому зависимость вида (7.16')
противоречила бы условию макроскопической однородности системы.
Переходя в формуле (7.12) от суммирования к интегрированию, получим
9 [U] = N exp { - y (2я)3 \ dk | U (k) |2 ак}. (7.12")
При этом формула (7.16) принимает вид
В(г-г') = (2л)3 J йке~1^г~'Ък. (7.16")
Как известно [17], коэффициенты ak определяют средние квадраты величин
ык:
< | Uk |2> = <WkW-k> = ак *• (7-17)
Принимая во внимание (7.6), (7.7) и (7.15), видим, что
ак = (2яГ3?-1(к), (7.18)
и, следовательно, гауссов функционал <Р\Щ можно записать
в виде
& [?/] = Wexp | - у ^ rfk | {/ (k)2 W-1 (к)}. (7.19)
Связь ядра В (г - г') с корреляционной функцией W видна из (7.16") и
(7.18).
Из формулы (7.19) явствует, что в гауссовом поле все корреляционные
функции Ч7Я выражаются через бинарную 4f2 = 47. Легко вычислить также
характеристический функционал А (zl) (см. Приложение III). Мы получаем
А (.г!) = ехр {- -f- J dk | / (к) рр (к)}. (7.20)
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
79
Обратимся теперь к пуассоновскому полю.
Имея в виду, что в полупроводнике могут находиться примеси разных типов
(например, доноры и акцепторы), удобно рассматривать индекс i как
составной, полагая г = {a,ja}, где индексы а и ja нумеруют,
соответственно, типы примеси и примесные атомы данного типа; при этом
число примесных атомов типа а есть Na и
/" = 1 Na-, T,Na = N. (7.21)
а
Концентрацию атомов типа а обозначим через па:
па = NJQ. (7.22)
Пусть потенциальная энергия носителя заряда в поле отдельного центра типа
а, расположенного в точке R/, есть Va(r - R/). Тогда
Na
V(r) = ZZVa(r- R/). (7.23)
а f=l
Пользуясь этой формулой в применении к полупроводникам с заряженными
примесями, следует принять во внимание два обстоятельства.
Во-первых, неизбежное перераспределение свободных и/или связанных зарядов
в поле данного центра приводит к экранированию последнего. Это означает,
что при увеличении [г - R,| величины Ко (г - R/) достаточно быстро
убывают по модулю, так что соответствующие интегралы по R; сходятся на
бесконечности. Для ориентации мы будем иногда пользоваться простейшей
формой экранированного потенциала, полагая
Уа(Ю = ^ехр(-Я/г0), (7.24)
где Za - заряд данного центра в единицах элементарного заряда е, е -
статическая диэлектрическая проницаемость вещества, г0 - радиус
экранирования. Отметим, что экранировка, будучи коллективным эффектом,
строго говоря, приводит к неаддитивности потенциала К(г) (хотя
представление его в виде суммы (7.23) и можно сохранить). Однако это
обстоятельство последовательно учитывается в рамках формально
одноэлектронной задачи об энергетическом спектре [14]. Далее, в общем
случае статистику случайного поля, равно как и форму потенциала Va (R),
надо определять самосогласованным путем одновременно со спектром
носителей заряда. Есть задачи, когда это обстоятельство существенно [29].
Во многих случаях, однако, справедлив принятый здесь более простой
подход.
80
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Во-вторых, система в целом остается нейтральной. Это означает, что,
наряду с взаимодействием носителя заряда с примесными центрами, надо
принимать во внимание и взаимодействие его с размазанным зарядом
("фоном") всех остальных электронов и дырок. Условие нейтральности при
этом можно выразить в виде [13]
\dRVuonH(R) = 0, (7.25)
где Уполн - полная потенциальная энергия носителя заряда. Поскольку
взаимодействие рассматриваемого носителя заряда с "фоном" проявляется
только в условии нейтральности, мы можем в дальнейшем явно его не
рассматривать, условно заменяя равенство (7.25) более удобной формулой
" ^ dr V (г) = 0". (7.25')
Подчеркнем, что фактически обращается в нуль интеграл (7.25), а не
(7.25') (почему последняя формула и заключена в кавычки). Проще, однако,
пользоваться символическим "равенством" (7.25'), чем помнить, что к
выражениям, линейным по V, надо добавлять еще энергию взаимодействия
носителя заряда с компенсирующим фоном. Заметим также, что в случае
полной компенсации, когда суммарный заряд одних лишь атомов примеси равен
нулю, равенство (7.25') приобретает уже не символический, а точный смысл.
Очевидно, при этом условие (7.25') означает, что
{V (г)) = 0. (7.25")
Действительно, случайный характер функции К(г) связан с хаотическим
распределением центров в пространстве. Следовательно, "усреднение по
случайному полю" сводится здесь к усреднению по всем возможным
конфигурациям примеси. В силу
(7.23) мы имеем
а /= 1 1Ф1
Заметим, что для примесей разного типа величины Va имеют
разные знаки. Для примеси данного типа все интегралы от Va
здесь одинаковы, и, следовательно,
<У> MR). (7.26)
а
Здесь введена новая переменная интегрирования R = г - R/. Будучи умножена
на Q, правая часть (7.26) превращается в ле-
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ 81
вую часть (7.25'). Таким образом, мы вправе отождествить правую часть
