Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
междузонной диэлектрической проницаемости положить г = 0 в функции Грина
для зоны проводимости. Тогда имеем
ОО
Gf (R, г; со) |r-0 = J ds J dk ехр { is (йш - -gi) -
О
5
- i J ds' J dq exp [i (qR + fc) - is' -g?-] U (q) } . (XIV. 17)
о
s2
Подставляя в - ? характерные значения s, видим, что этот член может быть
опущен. В таком виде функция G^f1 используется в дальнейших расчетах.
Излагаемую здесь схему расчета легко перенести и на случай наличия
постоянного внешнего поля - надо лишь добавить к V(R, г) слагаемое e?R В
частности, уравнение (XIV. 9) приобретает теперь вид . dS2 ' / о! Ч
/ о2
' ds
=S2 { Tr+P (R+^-(g+gs), r, s)+c (s, R + 4 (6+6,)) }> (XIV. 18)
где
(XIV. 19)
Аналогично, для S4 получим " , - . .'2
i
(-^=S4{g(r + 4(| + ?,), Г + 4-Ч, ") +
+"(g. r+4 h+'v? (*.r+4 ¦^s))} ¦¦ (XI v-20)
Используя опять неравенство mv S> mc, имеем
OO
G^} (R, г; со; g) = 6 (r) ^ c/s exp j /s (fi<o + egR + ?g) -
о
- 1 [ ds' [ dq exp Г/qR + I ^> (q) 1 (XIV. 21)
J J V 4mp J )
378
приложения
оо
0*.с) (R, г- со; S) 1г-0 = -ЩуГ 5 ds S rfk ехР { ls (й" ~ eSR - -J^-) -
о с
S
" ' ~\ап^ ' S dS' S dq (1+S,2q^) ехР ('qR_'s'l^') U (q) }¦ (XIV>
22>
0
XV*. Преобразование выражения (VI. 2.23)
Преобразуем выражение (VI. 2.23) для к (т$, со;), используя периодичность
функций (й1Ч (к^) и p\ft (к^). Введем обозначение
Cpil к (со, t) = pf;/ (к,) ехр [1в1Ч (к, со; 0], (XV. 1)
где
В1Ч (к, со; t) = с/0 [свп (ке) + со]. (XV. 2)
О
Тогда, согласно (VI. 2.23), величину к (cos, со^ можно представить в виде
А1'1, к ("s' "/) = 2 СА1'1. к, I" ("s' "/) "*¦ -V/, к, I" ("s' "с)]'
(XV- 3)
I"
ОО t
Ai'l, к. I" ~ ~Krn \ ik \ dt' Ск (""¦ *) С'"'• ^ (" *')• (XV- 4)
- со
t
Яп.к./" = -т?г S 4k S л'сп".к(-",'Оси,кК *)¦ (XV. 5)
- 00 - оо
Принимая во внимание (XV. 2), мы получаем (в этом приложении
для краткости введено обозначение 7"$ = Т)
ъ1,1 (к, со- / + пТ) = пв1,1 (к, со; Т) + (к, со; /), (XV. б)
Csi'i, к (* + пТ) = ехР (к- "! Г)] С%\ к (/), . (XV. 7)
Где п - любое целое число. Используя соотношение (XV. 7), находим:
оо и-1
~AW,k,i"= Z ехр[/е/г (к, cos; Г)] ? ехр [tnerl (к, - со,; Г)] X
tt*" - оо tt'sa-OO
Г/2 Г/2
X 5 dt C\,v,t к (а>" /) J <//' с/,л к (- сог, /') +
-Г/2 -Г/2
ОО
+ X ехР 18п" (к. "s! т) + е'"/ (к. - Г)]} х
R<*- ОО
Г/2 Г/2
X 5 ЛС?Г1к(а>"*) j Cl,,,, к (- со,, Г). (XV. 8)
-Г/2 -Г/2
ПРИЛОЖЕНИЯ
379
Суммирование по п и п' в выражении (XV. 8) можно выполнить с помощью
следующих вспомогательных формул:
Ё (XV'8)
U-| - оо
oo n-1
Y einx ^ einy =
Пет - OO -OO
/ j _ elN (x + y) \ j _ giN (x + y)
= (1 - 2 Re ~l ZgTTxTW ) ' (XV-10)
Здесь x, (/-вещественные величины. Предельные (при N -> оо) значения
величин, фигурирующих в правых частях (XV. 9) и (XV. 10), таковы:
(\~V~) = l 1 + 211 2 б^-2ят)[. (XV.:
( т=" - со j
( 1 _ еШх \ _
\ 1 -е1х )
Д^Чтг^Н^Т (XV'12)
Здесь суммирование по т охватывает все целые числа (и нуль); символ &
обозначает главное значение.
Пользуясь соотношениями (XV. 9) - (XV. 12), получим вместо (XV. 8)
ОО
%п\ к, /" ((r)s. = 2л Z б[е""(к,со5;Г) + ег,г(к, -
(r){; Т) - 2лт] X
т- -оо
Г/2 Г/2
/ Г/2 Г/2
Х| J dtC]r_k{ms,t) j <й'С,'"Лк -
( -Г/2 -Г/2
-Ё j 1-2я Y 6 \й1"1 (к> ~ (r)й Т) ~ 2ят] + ctg J е/"/' (к- - Т) I
X
L т-- оо
Г/2 Г/2 \
х j dt с?,,,. к (ffls, /) j л'с',,Г1к(-<в<>/,)|. (XV. 13)
-Г/2 -ТП )
При этом функцию Ъц" (к, со; Т) удобно представить в виде
ъ1Г (к, со; Т) = Т [йп" (kj_) + <*>].
т (XV. 14)
(r)"" (kJ.)= у 3 rf0 (ке)-
о
Таким же образом преобразуется и выражение для и, следова-
тельно, вся сумма в правой части (XV. 3). Получающееся выражение для
380
ПРИЛОЖЕНИЯ
At,ti к следует подставить в формулу (VI. 2.22) для сечения рассеяния
(d2ae/dQ da>s)s. Интеграл по cos легко вычисляется, так как в
подынтегральном выражении содержится множитель б (со' - со^ + ibu (kjJ -
mv); здесь введено обозначение v = 2п/Т. При этом под знаком суммы по т,
т' возникает выражение
Нт [("-";) VT/2) =а
т->оо (т - m') vt/2 тт '
и, следовательно, в формуле для сечения рассеяния остается лишь
однократная сумма по т. Каждое слагаемое в ней содержит множитель б (со'
- ш,- +
+ (r)и> (kj_) -
Заметим теперь, что экспериментально измеряется не сечение рассеяния на
данной частоте cos, а его значение, усредненное по некоторому интервалу
частот Дсо*. При этом мы вправе считать Дсо* > v. (Так, при g = 106 В/см
получаем v ~ 1013 с-1.) Пренебрегая величинами порядка v/Дсо*, мы
получаем следующее соотношение:
1
Дсос
S оо
5 d(r)s X! v6K-ffl/+(r)ir(k±)-"v)=i- (xv. i6)
Падающее излучение также не бывает строго монохроматическим - в
действительности мы всегда имеем дело с группой волн конечной ширины
Дсо*. Соответственно правую часть (VI. 2.22) надо проинтегрировать по
интервалу Дсо,-. Полагая опять Дсо, v и пренебрегая членами порядка
v/Дсо,, находим
со^+До^
Дсо
г Г
5г j 1 _ Zv 6 (kJ-)_ ~mv)+
1 в>1 L т-0
+ 19 ctg -5. (йг/ (kx) - а>')] = 0. (XV. 17) Пользуясь этим соотношением,
получаем выражение (VI. 2.26) для ^ ^ .
ЛИТЕРАТУРА
