Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Производные здесь берутся по всему аргументу
df (г)
Y ("Ро) =
, (VIII.I1)
z=ap0
dz
При этом величины f' и f" не зависят от утла у, поскольку
I Ро (т, т') | = Ро (т - т') = 2R I sin х I- (VIII.12)
360 ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому в (VIII. 10) можно проинтегрировать по у. Введем обозначение
2л
о
<Ф (V, Х))у = туг \ Ч (r) (Y. %)¦ (VIII.13)
/ (брро) \
Легко получить выражение для {-------------->
\ р 0 /у
Ро
Далее,
?i*SE2l\ =(alx+6ly)sinx. (VIII.14)
\ Ро / у
СО
<(6p)2>v - 2 ? (а* + b2) sin2 п%. (VIII.15)
П=°\
Наконец,
/_(бр|о)_\ _ ± (fiju + blyY sin 2 х + J_ ЦЬгу + агх)2 + sin2 2% +
\ Ро ' у ^ ^
00
+ ту [(('пу - апх)2 Sin2 п% "Ь 2 (блу - Ялх) (^п+2, у "Ь ап+2, х) X Л = 1
X Sin п% sin (" + 2) X + (bn+2, у + "л+2, X? sin2 (п + 2) х! +
ОО
+ ~2 ^ 1(апу - Ьпх)г sin2 лх + 2 {апу + bnx) (ап+2, у бл+2, х) X л-1
X sin п% sin (п + 2) х + (ял+2, у - bn+2, х)2 sin2 (и + 2) х]. (VIII.16)
Очевидно, для диагонализации 62Q более удобны фигурирующие в (VIII. 16)
комбинации переменных
апх Ьпу, Чп + 2, X + btl + 2, у, Чпу + bnx> ап+2, у Ь п + 2, X-
Выразим через них и ((,6р)2) у. Для этого учтем, что
апх "Ь апу "Ь Ьпх + bny - -g- [(чпх бпу) "1" {апх "Ь Ьпу) +
"Ь (апу + Ьпх)2 + (апу - Ьпх)2]. (VIII.17)
Отсюда найдем
((бр)2>У = 2 ? (а2пг + b2nz) sin2 п% +
rt-2
+ + Ь\у)2 + (а\у - Ь1Х)*\ sin2 % + [(я^х + &2у)2 + (а2у - &2х)2] sin2
%% +
оо
+ X ^°пх - ЬпУ^ si"2 + (а"+2, X + Ьп+2, у)2 sin2 (" + 2) х] +
п*1
ОО
+ X Капу + bnx)2 sin2 п% + (ап+2, у - бл+2, х)2 sin2 (п + 2) xl- (VIH-I8)
л-1
ПРИЛОЖЕНИЯ
361
Теперь вернемся к выражению (VIII. 10). Часть его, связанная со второй
вариацией б2Q", имеет вид
^ [ 'х <¦*" {<***+[ - ¦т, }¦
(VIII.19)
Поскольку ро зависит лишь от | sin х I. интеграл по х здесь можно брать в
пределах от нуля до я/2, введя еще множитель 2. Определим величины
я/2
6"(х) = 2 f dX ~ Г (* 5Ш Х) ¦ sin2 пХ, (VIII.20)
J ьш х
0
я/2
(х) = 2 ^ d%f" (х sin %) sin2n%. (VIII.21)
о
Очевидно, при f(z)=e~z эти определения переходят в приведенные в основном
тексте (формулы (III. 7.30) и (III. 7.31)). Возвращаясь от переменных
oi*, Ьи и bi" к переменным R, ф и ф, а затем переходя к переменным (III.
7.25) - (III. 7.28), получим (в случае экспоненциальной функции /)
выражение (III. 7.29).
IX*. Вычисление величин Пц_ (х) и Пц (х)
Представим величину Пх (х) в следующем виде:
пх (*) = П [1 - = "Р f- * MJ.
л-2
где
*<">-!> "ад
л-2
Для экспоненциальной корреляционной функции при | х | > 1 мы имеем
Ьп (х) = Т ln (* + ) + х2 (in2 + х2) ' (1Х'3)
* , ч 2"2 /, 2га2 - 1 \
6n(x)"-^j-^l-----------2-J при Ж | х I,
IX
bn (х) ~ In - при п > | X |.
Удобно также использовать приближенное выражение для 6п(х),
которое получается, если фиксировать аргумент и = 2n/х и
выполнить разложение
по 1/х2;
• H-l-t !.(¦ + .n-^("'+iV OX.*)
362
ПРИЛОЖЕНИЯ
Используя выражение (IX. 3), видим, что функция %(г) непрерывного
комплексного аргумента г,
1
г26. (х)
" М - ' ~ -ЗгЧпг [|(¦I + Щ ЙУ+ ]. (ТХ.5)
обращается в нуль при z = 1. В области Re z ^ 2 имеем 0 < | % | < 1, и,
следовательно, в этой области функция
/ (z) = In х (г) (IX.6)
регулярна.
Очевидно также, что ряд (IX. 2) сходится, так что допустимо использовать
следующую модификацию формулы суммирования Эйлера - Маклорена:
00 " ~
^/(")-1/(2)+ j Hz)dz-i\ (IX.7)
п-2 2 О
Сумму (IX 2) для КМ с функцией /, заданной равенствами (IX. 5), (IX.6),
вычислим, отбрасывая слагаемые, убывающие при | х | -*¦ оо или
постоянные. При этом для первого и последнего членов в правой части (IX.
7) можно использовать разложение /(г) при | г | <с | х |:
2 (z2 - П
/ (г) " In - 1 . (IX.8)
Так, с указанной точностью
4tf (2) " - In х, (IX.9)
а последнее слагаемое можно вообще отбросить. Далее, во втором слагаемом
в правой части (IX. 7) можно, пользуясь формулой (IX. 4), перейти к
интегрированию по переменной и = 2г/х:
, f w х f , , Г, 1п(1 + мг) 1 1п(1+ы2) 1 1
j 2 J d"lrT н2 я2 и2 х2(1 + "2)}
2 4/Х (IX.I0)
Два последних слагаемых в квадратных скобках в (IX. 10) влияют лишь на
постоянное слагаемое в J при | х | -> оо. Отбрасывая их, получаем
оо 4/И
rf"ln['~ 1п(1 + ц2) ]~~ j du In^-. (IX.11)
о о
Подынтегральное выражение в первом слагаемом в (IX. 11) изменяется от In
(и2)2) при малых и до - (21п и)/и2 при и > 1. Для грубой оценки его
достаточно положить
оо 1 оо
- 2v = ^ du In [1 - и~2 In (1 + к2)] яз ^ du In (и2/2) - 2 ^ du и~2 In и
=
0 О 1
= -(4+In 2). (IX.12)
Очевидно, v есть положительная постоянная, близкая к двум.
Итак, с принятой степенью точности получаем
/ - - vx -j- 4 In х. (IX.13)
ПРИЛОЖЕНИЯ
363
С учетом (IX. 9) имеем
К (х) - - vx + 3 !п х + const. (IX.14)
т. е.
ПХМ* ~ф~ет. (1Х-15)
Из вывода ясно, что этот результат справедлив в области, где
exp(vx) растет
быстрее х4, т. е., например, при Im х = 0, х > 4/v. Появление этого
растущего
с | х | множителя есть следствие эффективного сильного вырождения длинных
оптимальных петель.
Обратимся теперь к величине П(| (х). Удобно представить ее в виде,
