Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
<1.
(3.7)
§ 4. Плотность состояний
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
629
теории: согласно (V.4.1) и (V.4.6) именно через плотности состояний Nc (Е) и Nv (Е) выражаются концентрации свободных электронов и дырок.
Зная плотности состояний как функции энергии, мы можем найти концентрации носителей заряда как функции температуры, уровня Ферми и, может быть, магнитной индукции. Тем самым определяются все равновесные характеристики электронного газа.
Концентрацию электронов и дырок на локальных уровнях также можно представить в виде (V.4.1). Действительно, вспоминая формулы (V.9.3), видим, что плотность состояний, соответствующую дискретному донорному уровню Еа, можно записать в виде
Наконец, в запрещенной зоне (при Е =? Ed, Е ^ Еа) плотность состояний равна нулю.
Таким образом, плотность состояний Nt (Е) (I = с, v) можно использовать как характеристику энергетического спектра: она отлична от нуля и непрерывна в разрешенных энергетических зонах, равна нулю в запрещенной зоне и имеет дельтообразные особенности при энергиях, отвечающих дискретным уровням. Вид функций Nc (Е) и Nv (Е) в известной мере характеризует структуру зон: согласно (V.7.86) эти функции выражаются через законы дисперсии носителей заряда.
Вклад носителей заряда с данной энергией в явления переноса также связан с видом плотности состояний. Действительно, электроны и дырки, локализованные на дискретных уровнях, могут принимать участие в явлениях переноса только путем перескоков и при Т — 0 их вклад, например, в статическую электропроводность равен нулю. С другой стороны, электроны, находящиеся в зоне проводимости, всегда дают ненулевой вклад в статическую электропроводность. В условиях вырождения так обстоит дело при любой сколь угодно низкой температуре.
Видим, что справедливо следующее утверждение:
1) Статическая электропроводность при Т — О остается отличной от нуля тогда и только тогда, когда уровень Ферми попадает в область, где плотность состояний отлична от нуля и непрерывна.
Видна также и связь плотности состояний с температурной зависимостью статической электропроводности. Именно, если пренебречь малой прыжковой проводимостью, то справедливо следующее утверждение:
2) Если уровень Ферми попадает в область E'v < Е < Е’с, где плотность состояний равна нулю или имеет 6-образные особенности, то статическая электропроводность, связанная с электронами
где
N а (Е) = Nd6 (E-E*d), E*d = Ed + kT ln(g0/?i).
(4.1)
(4.2)
630
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ [ГЛ. XIX
проводимости, пропорциональна выражению
F-E' ехр kT .
(4.3)
Действительно, выражение (4.3) (с точностью до коэффициента пропорциональности) определяет просто число свободных электронов.
Перенос этого утверждения на случай дырок очевиден.
Наконец, плотность состояний коррелирует и с электропроводностью в поле конечной частоты, т. е., согласно гл. XVIII, с коэффициентом поглощения или излучения света. Действительно, эти процессы могут происходить лишь при наличии электронов в начальных состояниях и свободных дозволенных уровней— в конечных. Иначе говоря, справедливо следующее утверждение:
3) Коэффициент поглощения или рекомбинационного излучения электромагнитных волн на частоте со может быть отличен от нуля, лишь если
где Е2я Ei — два значения энергии, при которых плотность состояний отлична от нуля. (Условие непрерывности плотности состояний при этом не обязательно.)
Это утверждение относится и ко взаимодействию электронов со звуком. В случае поглощения или испускания сразу нескольких фотонов (или фононов) левую часть (4.4) следует заменить суммой их энергий.
Утверждения 1)—3) называют теоремами о корреляции. В рамках зонной теории твердого тела они вытекают непосредственно из формулы (XIII.7.12), из закона сохранения энергии при квантовых переходах и из того, что вероятность перехода пропорциональна числу занятых мест в начальном состоянии и числу свободных мест — в конечном. Существенно, однако, что эти теоремы имеют и более общее значение. Действительно, плотность состояний представляет собой не что иное, как число дозволенных энергетических уровней, отнесенное к единице энергии и к единице объема. Это понятие не связано непременно с особенностями поведения одного электрона в периодическом поле. В равной мере им можно характеризовать и энергетический спектр электрона, движущегося в. произвольном (постоянном во времени) внешнем поле, в том числе и случайном. В последнем случае плотность состояний удобно вводить как величину, уже усредненную по всем возможным конфигурациям примеси.
Формула (V.4.1) остается в силе и в произвольном внешнем поле, но от определений (V.7.8, а, б) надо, вообще говоря, отка-
Йсо = Е2 — Elt
(4.4)
плотность состояний
631
заться. Более того, формулу (V.4.1) можно сохранить и при учете взаимодействия электронов друг с другом. В последнем случае, однако, аргумент Е уже не имеет смысла одноэлектронной энергии. Его следует понимать как изменение энергии всей системы электронов при изменении числа частиц в ней на единицу. Доказательство этого утверждения дается в общей теории многих тел [2]; там же выводится и общая формула, связывающая функцию Nt (Е) с решением соответствующей задачи многих тел.
