Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
J. М —(4.Ю)
Согласно (4.10) и (2.7) антисимметричная часть функции распре* деления в постоянном электрическом поле имеет вид
fa (Р, 6) = - г (Е) {(V, -V/,) - е (S, V,/,)}. (4.11)
Поскольку функция fs уже известна, выражение (4.11) позволяет вычислить плотность тока по формуле (XIII.2.2). В пространственно однородной системе, когда первое слагаемое в (4.11) отсутствует, мы получаем
\=ещ{Те, Т) S. (4.12)
Условие баланса энергии- дает теперь уравнение для определения электронной температуры:
ец(7е, Т) &= (4ЛЗ>
Приближение, выражаемое формулами (4.6) и (4.11), иногда называют квазигидродинамическим.
При наличии нескольких типов носителей заряда (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. д.) времена релаксации энергии и импульса вводятся для каждого типа в отдельности. Следует различать также времена между столкновениями носителей одного и того же и разных типов. При этом, в зависимости от соот-
*) Исключение, как и в слабом поле, может составить случай рассеяния на оптических фононах (см. гл. XIV и § XVI.5).
524
ГОРЯЧИЕ элект-роны
[ГЛ. XVI
ношения между их эффективными массами, столкновения между различными носителями заряда могут как сопровождаться, так и не сопровождаться заметным обменом энергией. Так, при резком различии эффективных масс этот тип рассеяния, по сути дела, не отличается от рассеяния на заряженной примеси. Неравенства типа (4.1) — (4.3) теперь надо писать для разных типов носителей заряда по отдельности, и число различных предельных случаев заметно возрастает. Отметим два из них.
а) Пусть эффективные массы носителей разного типа — одного порядка величины. Тогда взаимное рассеяние разных носителей связано с интенсивным обменом энергией и при достаточно малых временах между соответствующими столкновениями имеет однозначный смысл представление о единой температуре носителей заряда, отличной, вообще говоря, от температуры решетки.
б) Пусть эффективные массы носителей заряда разного типа резко различны, но времена между столкновениями носителей одного и того же типа достаточно малы. Тогда имеет однозначный смысл представление о температурах носителей разного типа (например, электронов и дырок), не совпадающих, вообще говоря, как друг с другом, так и с температурой решетки.
Рассмотрим условия, при которых выполняются соотношения
(4.1) и (4.2). Прежде всего заметим, что неравенства (4.2) могут иметь место только при условии %р %е, т. е. в случае слабо нёупру-гого рассеяния. Как мы знаем, так обстоит дело, если рассеяние квазиимпульса происходит в основном на атомах примеси (при любом механизме рассеяния энергий) или если рассеяние и энергии, и квазиимпульса обусловлено взаимодействием носителей заряда с акустическими (в том числе и пьезоэлектрическими) колебаниями решетки. Рассеяние на оптических колебаниях оказывается слабо неупругим, лишь если средняя энергия носителя заряда значительно превышает энергию оптического фонона:
^Те>Йсо0.
В указанных условиях (4.1) и (4.2) удовлетворяются, если время хее достаточно мало. Чтобы вычислить его (при параболическом законе дисперсии), надо решить задачу о движении двух заряженных частиц с массами тг и тг. Потенциальная энергия их есть
У ==~е?1ехр(— r/r0). (4.Н)
Здесь г — расстояние между частицами, ег и е2 — их заряды, г0 — радиус экранирования.
Как известно из механики, такая задача распадается на две:
о свободном движении центра инерции всей системы и о движении
о т,т»
одной «частицы» с приведенной массой mr = ~ и радиус-
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА
525
вектором г в поле U (г). Выражение (4.14) формально не отличается от энергии взаимодействия носителя заряда с ионом примеси. По этой причине мы можем непосредственно воспользоваться результатами § XIV.5, заменяя в них т на тг и Т на Те. Согласно (XIV.5.19') для невырожденного газа мы имеем по порядку величины
е2m’/2 ! mrkTe \ ,. ,
*ее-----^(ЬТеУ'' ^ (-^ П) , (4-15)
Мы заменили здесь энергию Е на s/2kTe и опустили несущественные численные множители.
Как и следовало ожидать, в невырожденном газе время хее обратно пропорционально концентрации носителей заряда п (с точностью до медленно меняющегося логарифмического множителя). Это означает, что неравенства (4.1) и (4.2) выполняются лишь при достаточно больших концентрациях, превышающих некоторые критические значения. Для оценки их надо вычислить отношения хе!хее и хр1хее. Приравнивая их единице, получим порядковую оценку критических концентраций пе и пр, выше которых рассеяние, соответственно, энергии и квазиимпульса за счет межэлектронных столкновений оказывается доминирующим. При этом вместо того, чтобы вычислять хе и хр с помощью формул (2.5), (2.7), удобно выразить эти времена через длину свободного пробега по, импульсу 1Р, определяемую равенством *)
