Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (4.1") с учетом (4.2) устанавливает некоторую связь между величинами (р', р) и (р, р').
Рассмотрим сначала случай, когда рассеяние носителей заряда происходит на каких-либо несовершенствах решетки (но не друг на друге). Тогда, согласно (3.10), равенство (4.1") принимает вид
$ {&1 (Р'. Р) fo (Р') [1 - fo (Р)] - 0*2 (Р. Р')/о (Р) [1 - /о (Р')]} dp' = 0. (4.6)
Допустим, что равенство нулю интеграла в (4.6) влечет за собой и обращение в нуль подынтегрального выражения. Тогда, подставляя в (4.6) явное выражение для функции Ферми, мы получаем
ffiJPjL-gL — ехр (47)
<^2 (Р. р') kT ' v ’
Видно, что рассеяние с увеличением энергии менее вероятно, чем с уменьшением ее: при Е (р') <? (р) правая часть (4.7) меньше единицы. При упругом рассеянии, когда энергия частицы не изменяется вовсе, (р', р) = <^2 (р. р')-
Предположение о равенстве нулю не только интеграла, но и подынтегрального выражения в левой части (4.6) означает, что в условиях равновесия поток частиц из данного элемента фазового пространства в любой другой точно уравновешивается обратным ему потоком. Меньшая вероятность перехода из состояний с малой энергией компенсируется при этом большей их «заселенностью». Иначе говоря, приход и уход частиц уравновешиваются не суммарно, а детально — порознь для каждых двух элементов фазового пространства. Соответственно утверждение, выражаемое равенством (4'.7), носит название принципа детального равновесия.
Изложенное выше, разумеется, не представляет" собой вывода указанного принципа. Это есть лишь способ догадаться, какого соотношения между величинами (р', р) и (р,1 р') можно было бы ожидать. Фактически равенство (4.7) при определенных условиях вытекает из квантовой механики ([М2], § 108), и его можно ис-
*) Ситуация становится особенно ясной, если искривления зон нет вообще, т. е. система носителей заряда пространственно однородна. В этом случае функция распределения не зависит от координат, а ? = —УФ = 0, т. е. первое и второе слагаемые в (4.1) порознь обращаются в нуль: переноса частиц ни в координатном, ни в импульсном пространстве нет вообще.
416
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
пользовать для нахождения явного вида равновесной функции распределения. Так, в частности, обстоит дело при упругом рассеянии бесспиновых частиц (что и будет проиллюстрировано в дальнейшем на конкретных примерах). При этом слово «бесспиновый» не обязательно понимать буквально: речь идет о процессах рассеяния, в которых спин частицы не играет роли. Именно с такими процессами мы чаще всего имеем дело в неферромагнитных полупроводниках и металлах.
Совершенно аналогично можно рассмотреть и расёеяние носителей заряда друг на друге. Интеграл столкновений при этом дается формулой (3.11). Комбинируя ее с соотношением (4.1"), мы получаем, подобно (4.7),
(р', o'; pt, р2) _ Е (р;) + Е (р;)—Е (Pi)-Е (р2) „
#2 (Pi. Рг; Р'> Р -) кТ
Под знаком экспоненты здесь стоит полное изменение энергии двух частиц при столкновении. В отсутствие обмена энергией с какими-либо третьими телами оно, очевидно, должно равняться нулю. Таким образом, равенство (4.8) принимает более простой вид:
0*1 (р;. р*; р 1. pa) = ^.(pi, р2; Pi, pi). (4.8')
Как и (4.7), равенство (4.8') справедливо не всегда ГМ2]. Однако уточнения, которые необходимо внести в общем случае, в интересующих нас задачах ничего не меняют.
§ 5. Малые отклонения от равновесия
Систему электронов мсжно вывести из состояния термодинамического равновесия, накладывая напряжение на образец, или создавая в нем градиент концентрации носителей заряда или температуры. При этом электрохимический потенциал или температура (или и то и другое) становятся зависящими от координат. Принимая во внимание это обстоятельство, мы можем записать неравновесную функцию распределения в виде
/(Р. г) = МР, г) + МР, г). (5.1)
Здесь
Д-'explifi^W+l}-' (5.2)
есть функция Ферми с изменяющимися в пространстве температурой и электрохимическим потенциалом, a fr — неизвестная пока функция, которую надо определить из кинетического уравнения.
Представление / (\ г) в виде (5.1) оказывается удобным, если градиенты функций F (г) и Т (г) достаточно малы. Как будет
МАЛЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ РАВНОВЕСИЯ
417
показано в § 7, при этом в существенной области энергий
l/iK/o- (5.3)
Коль скоро условие (5.3) выполняется, говорят о малых отклонениях от термодинамического равновесия; систему носителей заряда при этом называют слабо неравновесной. В применении к таким системам кинетическое уравнение (3.12) несколько упрощается. Действительно, перепишем его, пользуясь явным выражением (3.5) для силы F. Получим
Ж + (v> V/) - (eS> Vp/) - T (l> x = (5.4)
