Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку макроскопическая плотность тока и соответствующая ей проводимость — самоусредняющиеся величины, во всех выражениях для плотности тока можно выполнить усреднение по конфигурациям случайного поля. При нашем подходе, когда система собственных функций гамильтониана со случайным полем выбрана в качестве базисной, случайное поле входит в выражение для плотности тока лишь через энергии Е\ и матричные элементы, построенные на функциях фа,. В области сильно локализованных состояний случайными параметрами служат
220
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
энергии Ех и координаты центров локализации Rj,, и конфигурационное усреднение сводится к усреднению по наборам некоторых случайных величин, например Ех и R&. Это позволяет при вычислении, проводимости избежать явных предположений о виде случайного поля, заменяя их заданием статистических характеристик распределения, например координат и энергий центров. Такой подход иногда оказывается более удобным, чем подход, основанный на конфигурационном усреднении.
§ 6*. Метод функций Грина в теории
прыжковой проводимости
При квантовомеханических расчетах кинетических коэффициентов в случае переноса свободными носителями широко используется формула Кубо, устанавливающая связь между функцией линейного отклика системы и корреляционными функциями [17]. Такой подход позволяет свести кинетическую задачу к вычислению равновесной двухчастичной функции Грина, решение уравнения для которой в случае слабого рассеяния дает результат обычной кинетической теории.
В случае переноса по локализованным состояниям для функции линейного отклика также получается выражение типа формулы Кубо. Действительно, линейная по внешнему возмущению часть матрицы плотности бp(t) определяется обычным образом из уравнения движения для матрицы плотности. Пусть гамильтониан имеет вид Н -f- Hf, где Н — гамильтониан в отсутствие внешнего электрического поля, Hf— гамильтониан (2.10). Введем обозначение (Я | Т |Я') Считая, что поле адиабати-
чески включается при t = —оо, получаем t
йр (0 = - х ? S dt' W ехР [—Т н {t - П] х
—оо
х \_a+aKi, Р(0)] ехр [~Н (t — О]. (6.1)
где р(0) — матрица плотности в отсутствие внешнего поля.
Согласно (4.6) добавка к одночастичной матрице плотности, вызванная внешним полем, равна
6/a1?4 = SP6P (0«?Х =
00
= “ Т \ dx ? гьк V - т) SP Р<0) К (т) au (т)> ata>3_ =
О Л3Я4
00
—Е <6-2)
—ОО
$ 6*. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА В ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ 221
где
(T) = ^0(T)Spp(°)[a+(T)a,i(T)> a+aJ
(6.3)
есть обычная запаздывающая коммутаторная двухчастичная функция Грина. Переходя к фурье-представлению с помощью соотношений типа
К (со) = J dt ешК (О,
мы получаем вместо (6.2)
0/ы, (®) - - 2 Па w W <“>• М>
С помощью формул предыдущего параграфа можно выразить плотность тока через двухчастичную функцию Грина. Так, вместо (5.1) мы имеем *)
/«(“) = --§¦ ? (h\va\l2)rlsklKMMA(a)^
= ^ ? (*ll*JAa)?WW.(®). (6.6)
X1X2X3X4
Напомним, что, как и в (5.1), в этом выражении термодинамический предельный переход должен быть выполнен до всех других предельных переходов.
Наряду с формулой (6.5), можно пользоваться и другими эквивалентными выражениями для плотности тока, которые часто оказываются более удобными (по причинам, обсуждавшимся в предыдущем параграфе). Так, для «диагонального» вклада в плотность тока на основании формулы (5.19) для системы, изображенной на рис. 14, а, мы можем написать
\<s
V
где
Ккк'(<й) = Кш'\’(®)> Tf h = y и.
Цепочка уравнений для двухчастичной функции Грина получается стандартным путем:
ftoo/Cu'(©) = X ВялДби, — Sui) I aj/avX) (6-6)
hiKtql
*) Если энергию электрона записать через векторный потенциал, то первое из равенств (6,5) свяжет плотность тока с корреляционной функцией скоростей.
222
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
И
{Н(?> + Ех, — Ех, + (— 1)и) Ыд} {ata^ I avav)M =
= {6ktv — h.-A') Sp p^aiaxfif +
+ X Bl,xt { {ataxfitaxftq^ | —
— {atakflxflx^i^ | ах'йх'}ш }. (6.7)
Интересуясь лишь членами порядка g в правой части (6.7), мы можем провести расцепление многочастичных функций, аналогичное (3.11):
{atataxflkfiffix'^ \ ах'йх'» »
** bktkfikihbq,-*, ф {п (Ех,) К к,к' + п (Ех!) К ХА'} —
— f>klkA,k,f)q-K((:f{n(Exl)Kk3k' + n(Ek3)Kklk'} (6.8) и т. п. Фигурирующие здесь функции ф№ определены формулой
