Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
- 2 (1 - ) « - 3. (7.33)
Обратимся теперь к интегрированию экспоненты от квадратичной формы (7.29). Прежде всего выпишем «рецепт» интегрирования с учетом выполненных выше замен. Поскольку убывание подынтегрального выражения exp[S2Q] с ростом /, с\ и gx происходит достаточно быстро (как ехр(—3/2 — Зс2/2 — 3g^/2)), возьмем в (7.16) сразу «оптимальные» значения R = R0, if> = О, Ф = 0, а интегрирование по названным переменным распространим на всю ось. Получим
со со оо
32 я2/Й f di f dg, f dc,
G,(0 = G‘0,W-V- \ ~Г \ -Г" \
я J J sjn J д/п
— ОО — ОО — ОО
хП \ dcndendgndhndzndzne6!Q 1. (7.34)
л = 2 L -ОО -I
Здесь множитель л~3 относится к каждой шестерке переменных при данном значении п. Если проинтегрировать по этому рецепту функцию ехр [S2QK] в пространстве гармоник с п ^ 2, то мы получим, конечно, единицу.
Подставим теперь выражение (7.29) в правую часть (7.34). Интеграл по / дает 1/д/З, интегралы по е2 и g2, с учетом равенства
1 — (b2 — b2)j%bx « 3/2, (7.35)
188 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
дают вместе 2/3. Интегралы по переменным гп и zn уже факторизованы и в совокупности дают множитель
оо
Пь (х) = П [ 1 - Й» М/"^ (7‘36)
л =*=2
Наконец, интегрирование по остальным переменным легко провести, заметив, что мы имеем здесь произведение независимых интегралов по парам переменных сп, 1п+г и g„, hn+2- Произведение одинаковых интегралов от двух последних пар есть
bn~~ Ьп 1 Г . Ьп + 2 — Ьп + 2 1 _ Г &П + - ^1 - ^1 ~|2
2 JL 2 (га + 2)2 J L 2«(« + 2)6, J'
(7.37)
а произведение их по всем парам переменных, отвечающих отклонениям от оптимальной орбиты, лежащим в ее плоскости, дает величину
оо
П„ = П® («+!)¦ (7.38)
П— 1
Оценка величин ГЦ и Пц приведена в Приложении IX (с точностью до постоянных численных множителей а± и ап) при |х|з> 1. Она показывает, что
П± = а±х_3ехр(\х), Пц = ацХ~3 ехр [^х (v—. (7.39)
Здесь
оо
v = — y \ d*ln[l — 72-М1 + *2)] (7.40)
о
есть положительное число, близкое к двум.
Собирая формулы, находим
Сг(Л = 1Ву'НФГ%-Х
Х ехр { ~ Тс [i (Л/6 “ ^ еШ (2v “ ~2~ 1)] } • 4!)
Здесь В — численная постоянная, равная 8я//2а_!_ац/3 д/З. а у =
= А^1/3, где к3 — параметр из (6.7). В рассматриваемом случае Я,3 <С 1 и y3>1. Поскольку в наших условиях |х| = 2а|/?0| = = t/(ntc), выражение (7.41) справедливо при t tc.
С другой стороны, при /<С/с функция Грина дается формулой (7.9). Разумно поставить вопрос о сшивании этих выражений на каком-либо едином контуре в комплексной плоско-
w(n + l) = [l —
S 7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr(t) 189
сти переменной t, идущем от нуля и возвращающемся к оо на вещественной оси t. Такой контур пригоден для определения фурье-образа по времени. Сшивание подчиним условиям равенства как самих выражений для функции Грина, так и ее производных. Для простоты будем учитывать лишь основное слагаемое в (7.9) и только экспоненту ехр (—~Г^2~е~‘т') в (7-41)-Тогда точка сшивания есть
= (7.42)
Поскольку | to/tc | ~ 1, Re(^oAc)>0, это значение дает разумную границу применимости обоих выражений для G,(t) на контуре, идущем из точки ^ = О в t=t0 и оттуда к t -> оо при Im t > 0. На этом контуре мы имеем
(i)4. „KIM.
Теперь можно определить поправки к плотности состояний, проистекающие вследствие отличия поведения функции Грина (7.43) на больших временах от ее поведения при t <С tc (см.
(7.9)). Это различие приводит к следующей поправке к р(?)
при | ? |< v4i:
Др (Е) = 72Я~3/2 (г(з1а2)1/6ехр(— 9у/16) X
4X|72f/2l • (к Еу~312 f2\312 ^9vV3M л ^
х L(i) Vsm U —ш) - u) cos J ¦ (7-44)
Эта поправка экспоненциально мала по сравнению с последним членом в правой части (7.12).
Таким образом, мы видим, что квазиклассическое приближение дает лучшие результаты, чем можно было бы ожидать. С другой стороны, следует помнить, что условие его применимости выражается не только первым, но и вторым неравенством
(7.10).
Глава IV
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 1. Основные механизмы переноса
Из вышеизложенного ясно, что в неупорядоченных системах со случайным полем последнее может существенно менять электронный спектр и характер электронных состояний. При этом могут потерять смысл сами представления стандартной кинетической теории. Действительно, кинетическое уравнение Больцмана основано на представлении о почти свободно движущихся частицах (квазичастицах), испытывающих сравнительно редкие столкновения. Необходимое условие применимости уравнения Больцмана есть
