Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, уравнения Лагранжа при варьировании X по -ф! и i)?2 дают соответствующие уравнения Шредингера. Удобно, однако, начать с использования третьего из условий стационарности X, отвечающего равенству нулю вариации функционала X по случайному полю U(г). Это сразу дает выражение для оптимальной флуктуации С/0(г) через искомые волновые функции ifi(r) и г|з2(г):
и0(г) = - J dr'W(lr'-rD О2(г') + ф2(г')]. (4.5)
Таким образом, остается найти г|)1 и г|э2, удовлетроряющие условию (4.4) и такие, чтобы определяемая ими потенциальная энергия (4.5) имела две ямы на расстоянии R друг от друга.
Используя (4.5), преобразуем функционал (4.2):
*[?/oh>i, •Фг]. •Фь %]> (4.6)
ZHu ^2] =
= - 1 \dr dr' О2 (г) + Ц>2 (г)] W (| г - г' |) О2 (г') + ^2 (г')] +
+ S dr [j (V^i)? + i (У^У ~ Е'М - E"^l\ • (4-7)
§ 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ в ГАУССОВОМ ПОЛЕ 165
Здесь полезно отметить, что первое слагаемое в правой части выражения (4.7), взятое с обратным знаком, дает искомую величину (4.1):
-Inр2(Е', Е"\ /?) = S[tf0(r)] =
= ^\dr dr' [ф* (г) + ^ (г)] W (| г - г' |) (г') + (г')]. (4.8)
Теперь функция р2 выражена через волновые функции i|)i и г|)2, на которых стационарен функционал Z (4.7). Можно было бы решать систему двух нелинейных уравнений типа Шредингера, отвечающую условиям стационарности Z, однако удобнее использовать прямой вариационный метод. Прежде всего, подобно тому, что было сказано в конце § 2, найдем точку стационарности функционала Z по переменным ||i|)i|| и |jif) 2II (нормам указанных функций. При этом мы явно используем то обстоятельство, что функционалы X и Z построены на ненормированных волновых функциях. Возникающая система уравнений для амплитуд волновых функций без труда решается. После подстановки найденных значений в соотношения (4.7) и (4.8) мы получаем
min Z -фг] = Q [Ч>1, 'Фг] = — In р2(Е', Е"\ R), (4.9)
И i|>i II. II ifc II
Q №, (г), *, (г)] = ' (4_Ш)
1 “ 12 11 22
Здесь
1*1 № (ri)] = S dr [т (Vl|5i)2 ~ ?'^] ’ (4-1!)
^2 (г)] = \dr [т (V^)2 - е"Г2]. (4.12)
J4 №• *2] = Y \ dr'dr" (r') W О r' “ r" I) (r")- (4-13)
Основное преимущество, достигнутое при переходе к функцио-
налу Q, состоит в том, что он непосредственно дает логарифм искомой условной вероятности р2 (?', Е"\ R) в результате минимизации его по формам произвольно нормированных функций iJh и г|)2- Действительно, функционал Q положительно определен; легко убедиться, что он не сингулярен и по способу получения не зависит от нормировки функций и \J)2. Далее, легко видеть, что функционал Q допускает правильный предельный переход к случаю R.-*-oo. Действительно, сравнивая (4.10) с (2.31), мы видим, что
Q (Е', E",R) 0 (?') + 0 (?") = - In р (?') - In р (?"). (4.14)
166 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Наконец, принятый нами вариационный подход удобен и в том отношении, что он позволяет естественным образом учесть требование должной локализации волновых функций. Именно, минимизацию Q следует проводить на классе пробных пар функций, нужным образом локализованных, скажем, в точках R' = О и R" = R. Тогда оптимальная флуктуация потенциальной энергии Uо (г) (4.5) будет обладать двумя ямами. В соответствии со сказанным в § 2, при отыскании интересующих нас решений вполне удовлетворительным приближением могут служить простые водородоподобные функции. Однако в настоящей задаче, в связи с наличием двух ям, надо использовать линейные комбинации двух таких «атомных» функций, локализованных в точках R' = 0 и R" = R. Иными словами, искомые волновые функции будем искать в виде линейных комбинаций функций е~у-г и e-Yilr-Rl, причем вариационными параметрами будут служить коэффициенты этих линейных комбинаций и длины убывания: Yj_l и y~'. Естественно, названные вариационные параметры должны удовлетворять условию ортогональности (4.4). При явном расчете были использованы следующие выражения для г|)1 и ф2:
ifo (г) = Xi (г) cos п — Х2 (г) sin г], ^2 (г) = XI (г) sin ц + %2 (г) cos Г);
= л,г;', гГф1 (г) + Фг(г)],
V2 (1 + s)
Х2 (Г) = ,^= [ф2 (г) — Ф1 (г)];
V2 (1 — s)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
Ф1 (г) = (y\ln)'he~'l'r>
Ф2 (г) = (vi/n;)v,e"V!1r-R I;
^<p2(r)dr= J<p2(r) dr= 1; (4.18)
s = ^ Ф1 (г) Ф2 (r) dr. (4.19)
Очевидно, функции cpi и фг суть просто атомные функции, нормированные и локализованные у двух разных центров, находящихся на заданном расстоянии R друг от друга. Функции xi и %2 представляют собой симметричную и антисимметричную их комбинации; они также нормированы и, сверх того, взаимно ортогональны. Параметр гибридизации т] определяет вклад %i и %2 в искомые функции г|>1 и г|>2 таким образом, что последние также оказываются ортонормированными. Как уже отмечалось, условия нормировки функций (4.15) не обязательны и приняты для удобства. Более интересна роль вариационного параметра rj,
