Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала задачу об одноэлектронных уровнях, соответствующих локализации одного электрона в данной потенциальной яме (В. Л. Бонч-Бруевич, 1971). В соответствии со сказанным в § 1, мы приходим при этом к «одноэлектронному» (в указанном там смысле) уравнению Шредингера
7Sj) + Uip — Е-ф. (9.3)
Здесь Т = —(h2/2m)V2 есть оператор кинетической энергии.
Уравнение (9.3) в принципе может иметь как дискретный, так и непрерывный спектр. Первому из них соответствуют интересующие нас локализованные состояния. По определению макроскопически однородной системы свойства ее инвариантны относительно одновременного сдвига всех потенциальных ям **). Иначе говоря, если локализованные состояния вообще образуются, то имеет место вырождение по координатам центра ло-
*) Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что эффективная масса m представляет собой в данном случае вспомогательную величину. То же относится и к аналогичным ей параметрам, которые могли бы входить в закон дисперсии более сложного вида: они входят в ответ как вспомогательные параметры, подлежащие определению из опыта (как в теории поляронов [18]).
**) Мы отвлекаемся при этом от возможных деталей атомной структуры. Строго говоря, в применении, например, к кристаллам надо было бы говорить не о любой точке, а о любой элементарной ячейке. Суть дальнейших рассуждений, однако, от этого не меняется.
100 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
кализации (§ 1.6). Поскольку указанное вырождение в рассматриваемой задаче не снимается, мы можем просто выбрать значения этих координат по произволу. Для определенности поместим центр локализации в начало координат; тем самым приобретают смысл и понятия «достаточно большое расстояние», «на бесконечности» и т. п.
Введем в уравнении (9.3) сферические координаты г, 0, ф, обозначив через ф лапласиан по угловым переменным. (Направление полярной оси здесь и в дальнейшем в этой главе может быть выбрано произвольно.) Получим
- -S [h ъг {'* 4г) + 7 ^ ,*] + и <г- «¦ <9-3'>
Обозначим через у-1 радиус локализации электрона, занимающего предполагаемый дискретный уровень (если последний действительно существует, то величина у должна оказаться вещественной)*). По определению (см. конец § 1) при достаточно большом объеме системы ?2 величина 7 не зависит от ?2, т. е., в частности,
(yQ1/3)_1-> 0 при Q—>оо. (9.4)
Положим
г|) = е-?'•/(г, 0, ф), (9.5)
где /—новая неизвестная функция. Подставляя (9.5) в (9.3'),
получаем
_ М fj.AV.fi___________±Я__
2m I уг/ т V уг ) у дг
-Ir + е, ,p)f = ?f. (9.6)
Как и в § 2, обозначим через /0 характерный линейный размер области локализации в смысле, указанном в § 2. По определению /о удовлетворяет неравенству
у/о>1. (9.7)
При г = /0 уравнение (9.6) можно переписать в виде
+ (9.8)
Здесь через А [/] обозначено выражение, конечное при у/0->оо;
явный вид его ясен из сопоставления (9.8) и (9.6).
*) Естественно, у зависит от энергии рассматриваемого состояния. Подробнее см. ниже, § 11.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ Ю1
Разложим f в ряд по шаровым функциям Yf (0, ф):
/(/о, 0, ф)=1 Z Y? (0. ф) С1т (/о), (9.9)
0 т~-1
и будем в дальнейшем для краткости обозначать совокупность чисел (/, т) одним индексом п (так, Y? = и т. д.). Подставляя (9.9) в (9.8), получим систему уравнений для коэффициентов Cim Е= Сп\
(i + §f>»-w=s?2>""'Wc”'' (9|0)
п'
Здесь через А обозначен результат подстановки (9.9) в выражение для А, величины Unn' суть элементы эрмитовой матрицы
2я я
Unn' (/о) = ^ dy ^ sin 0 dQYn' (0, ф) U (/0, 0, ф) Yn (0, ф). (9.11)
О о
Коэффициенты сп можно нормировать условием ZU«I2—1-
П
Умножая равенство (9.10) на с* и суммируя результат по п, получаем, с учетом (9.11),
1 + w ” W {2 ^ ('.) + W } • <9-12)
где С — величина, остающаяся ограниченной при yl0^-0. Обо-значим через v(/o) низшее собственное значение матрицы Unn'Vo)- Очевидно,
2, „,(!,) с,, >v(y. (9.13)
fit п
Следовательно,
|?-+E>v(« + ^. (9.14)
Знак равенства реализуется, если коэффициенты сп образуют собственный вектор матрицы U пп' (/о), принадлежащий низшему собственному значению v(/o). При v/0->- оо вторым слагаемым в правой части (9.14) можно пренебречь. Удобнее, однако, сохранить пока конечные значения yl0, ибо понимаемый буквально предел матрицы (9.11) при /0->- оо может и не существовать: в любой точке пространства случайный потенциал может иметь существенную особенность, с подавляющей вероятностью оставаясь при этом конечным в силу (7.53а) — (7.53в). Иначе говоря, с подавляющей вероятностью случайный потенциал осциллирует
