Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Разумеется, условие (5.11) необходимо, но, вообще говоря, не достаточно: могут быть правила отбора, не связанные с законом сохранения энергии и не имеющие прямого отношения к виду функции р(?).
§ 5. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
33
Ответ на поставленный вопрос оказывается положительным: всегда — для любой системы как угодно взаимодействующих частиц — можно ввести понятие плотности состояний и дать точный рецепт ее вычисления, сохранив в силе как связь ее с термодинамическими величинами, так и теоремы о корреляции (при этом последние носят уже менее тривиальный характер). Это обстоятельство позволяет дать точное определение понятия «разрешенная зона», справедливое в применении к любой макроскопической системе частиц. Действительно, эксперименты, интерпретируемые на основе представления о разрешенных и запрещенных зонах, относятся прежде всего к электрическим и оптическим характеристикам вещества. В силу теорем о корреляции все экспериментальное содержание этих представлений укладывается в следующие определения: разрешенной зоной называется область энергий, в которой плотность состояний отлична от нуля и непрерывна; запрещенной зоной называется область энергий, в которой плотность состояний либо равна нулю, либо отлична от нуля лишь в отдельных точках, где она имеет дельтообразные особенности. Этим точкам отвечают дискретные уровни, т. е. локализованные состояния электронов. Запрещенную зону, определяемую таким путем, часто называют также щелью для подвижности (подробнее см. гл. IV)*).
Подчеркнем, что термин «энергия» в этом определении относится, вообще говоря, не к отдельным частицам или квазичастицам, а ко всей системе взаимодействующих частиц (более подробно этот вопрос рассматривается в следующем параграфе).
Заметим также, что, оставляя в силе понятие «зона» в применении к определенной области энергий, мы отнюдь не сохраняем представления о зоне Бриллюэна. Как уже отмечалось в § 4, в неупорядоченной системе компоненты квазиимпульса вовсе не характеризуют стационарные состояния. Соответственно отпадают правила отбора, связанные с их сохранением, равно как и выводы, основанные на представлении об энергии электрона как периодической функции Квазиимпульса. Последнее означает, в частности, что особенности Ван Хова не обязаны наблюдаться в спектре поглощения (или испускания) неупорядоченных полупроводников. При аморфизации кристаллического полупроводника пики коэффициента поглощения, обусловленные этими особенностями, должны «размазаться», что и наблюдается в действительности (§ 3).
*) В применении к системам со случайным полем эти определения, оставаясь правильными, нуждаются в некоторых разъяснениях (см. следующий параграф).
34
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
§ в*. Плотность состояний (строгое рассмотрение)
Явный ответ на вопрос, как строго ввести представление о плотности состояний, мы получим, воспользовавшись общим выражением для концентрации частиц и приведя его к виду (5.4). При этом получится и общая формула для функции р(Е).
Как известно, в любой системе частиц локальная концентрация п(х) дается выражением
Здесь Gr(E) есть фурье-образ по времени от запаздывающей антикоммутаторной одночастичной функции Грина (для краткости мы будем в дальнейшем называть эту величину просто функцией Грина), s — спиновая переменная, переменная Е имеет размерность энергии*). Интегрирование по Е производится формально по всей вещественной оси; фактически, однако, подынтегральное выражение может обрываться при каких-то конечных значениях Е, и удобнее говорить, что интеграл берется по всей области, в которой подынтегральное выражение отлично от нуля.
Среднее значение концентрации по объему Q есть
Объем Й может совпадать или не совпадать с полным объемом рассматриваемой системы. В случае, когда данный объем составляет лишь часть полного объема системы, средняя концентрация (6.2) в принципе могла бы зависеть от положения его в образце. Мы, однако, ограничимся случаем макроскопически однородной системы, когда такая зависимость отсутствует. (Более подробное обсуждение понятия «макроскопически однородная система» содержится ниже, в § II. 7.)
Рассматривая функцию Грина 0r(x, s; х', s'; Е) как матрицу с индексамй х, s; х', s', можем написать
(6.1)
(6.2)
^ dx ^ Im Gr (х, s; х, s; Е) — Sp Im Gr (E). (6.3)
S
Таким образом,
м,
*) В книге [14] переменная Ц отсчитывается от уровня Ферми, соответственно чему величина F не входйт явно в формулу, аналогичную (6.1). Нам удобнее пока не фиксировать начало отсчета Е.
§ 6*. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ (СТРОГОЕ РАССМОТРЕНИЕ) 35
Сравнивая это с формулой (5.4), видим, что плотность состояний (с обоими значениями проекции спина) следует определить равенством
p(?) = |-SpImGr(?). (6.6)
При достаточно большом значении объема Q правая часть (6.5) перестает зависеть от Q.
