Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Более точную оценку величины хс сверху можно получить, рассматривая число связей, усредненное по слою |Е — ,F| < б:
в
ve=4$rf?v6(?). (9.16)
о
Примем, что бесконечный кластер появится, когда va для какого-нибудь б достигнет vc:
maxve — vc. (9.17)
Максимальная средняя плотность связей достигается при б = б2, где б2 — корень уравнения
~ O' (9-18)
Явный вид уравнения (9.18) нетрудно найти, используя (9.14) и
(9.16). Оно представляет собой алгебраическое уравнение пятой
§ 9*. КРИТЕРИЙ СВЯЗЕЙ
239
степени, единственный вещественный корень которого в интервале (0, ?тах) равен
б 2 = *2?тах. (9.19)
где х2 0,36, а соответствующее значение \>бг » 0,28х. Отсюда
=» 3,6vc. (9.20)
Как мы видели, прямое усреднение по энергетическому слою вблизи уровня Ферми, где число связей на центр монотонно падает при возрастании | Е— Т7[, приводит к переоценке роли центров, лежащих вблизи границ слоя, т. е. к завышению получаемого значения концентрации связей. По этой причине прямое усреднение по слою |Е — ,F| <5 в формуле (9.16) также дает завышенное значение концентрации связей. Соответственно соотношения (9.13) и (9.20) дают
2vc < хс < 3,6vc. (9.21)
Интерполяционную оценку критического значения %с можно получить, проводя усреднение по эффективному слою с весовой функцией, пропорциональной плотности состояний р(?) и среднему числу связей центра с энергией Е (М. Поллак, 1972; К. Машке, X. Оверхоф, П. Томас, 1974). При этом критерий связей принимает вид
\ dE v2 (Е) Р (Е)
v = 4--------------= vc. (9.22)
\ dE v (Е) р (Е)
Непосредственное вычисление величины v с помощью (9.11) в условиях (9.10) дает v=-px, т. е.
хс ~ 3,3vc. (9.23)
Это значение яс попадает в интервал (9.21) и близко к значению (9.20), полученному с помощью вариационной процедуры.
Как для двумерных систем при учете энергетической зависимости темпов переходов, так и для трехмерных систем с темпами переходов, не зависящими от энергии, критерий связей в форме (9.22) или (9.21) хорошо согласуется с результатами численных расчетов. Заметим все же, что подробное обоснование критерия связей проведено лишь для систем с некоррелированным расположением примесных центров и с постоянной плотностью состояний. Его, однако, нередко используют и для качественного рассмотрения более общих моделей.
Критерий связей позволяет, основываясь на значениях параметров, полученных путем численных расчетов, представить результат использования перколяционных соображений в относи-
240
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
тельно простом аналитическом виде. При этом оказывается возможным принять во внимание и более тонкие эффекты, обычно не учитываемые в модельных численных расчетах и связанные с зависимостью плотности состояний и радиуса локализации от энергии и т. п.
§ 10. Температурная зависимость прыжковой проводимости
Использование идей теории протекания (§ 8) позволяет с логарифмической точностью найти зависимость прыжковой проводимости системы по локализованным состояниям от их плотности и от температуры. Именно, в силу резкой экспоненциальной зависимости темпов переходов от разностей энергий и координат центров проводимость системы определяется критическим значением г)с:
ст = ст0 ехр (— т|с). (ЮЛ)
Предэкспоненциальный множитель о0 здесь слабо (по степенному закону) зависит от температуры и концентрации, и для его нахождения изложенных в §§ 8, 9 соображений недостаточно.
Для определения величины г]с можно воспользоваться, например, критерием связей (§ 9). Рассмотрим сначала задачу
о прыжковой проводимости в условиях, когда темпы переходов зависят только, от расстояний между центрами. Согласно (8.6) энергетической зависимостью темпов переходов можно пренебречь, когда характерные разности энергий Е оказываются намного меньшими г\СТ. Это может иметь место, например, в случае прыжковой проводимости по узкой примесной зоне в компенсированных кристаллических полупроводниках. Критическое значение показателя т| определяется в этом случае из условия (9.5), причем п — полная концентрация центров в примесной зоне. Таким образом, концентрационная зависимость проводимости имеет вид
0 = oroexp[-Y (-^f)1/3]- (Ю.2)
В этом случае проводимость меняется с температурой по акти-виационному закону о ~ ехр (—63/Т), где 63 есть энергетическое расстояние от уровня Ферми до той полосы энергий, переходы в которой определяют проводимость. В ряде случаев величину 63 можно вычислить явно. Например, для сильно компенсированного полупроводника роль е3 играет расстояние от уровня Ферми до примесного пика плотности состояний. Оно дается выражением (Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос, 1971)
