Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
217
появился). Если Р ориентируема, то расслоение U тривиально, а следовательно (см. выше), получается склейкой некоторого числа полноторий и 3-штанов. Если же Р неориентируема, то сначала вырежем из Р все листы Мебиуса, чтобы получить ориентированную базу. С этой ориентированной базой поступаем как и раньше. С листами Мебиуса делаем следующее. Над листом Мебиуса /л есть только два расслоения со слоем окружность: это ц х S1 и [ixS1, где волна обозначает косое произведение. Случай прямого произведения здесь исключается из рассмотрения по той простой причине, что // х S1 является неориентируемым
3-многообразием, которых в наших классах вообще нет.
Лемма 4.9. Косое произведение /ixS1 можно представить как расслоение Зейферта над 2-диском с двумя особыми слоями типа (2, 1).
Доказательство.
Рассмотрим толстый цилиндр, т.е. S1 X [-1, 1] х D1 и отождествим его основания S1 х [—1, 1] х {0} и 51 х [—1, 1] х {1} по суперпозиции т симметрии относительно окружности и симметрии относительно ее диаметра (рис. 4.18). Симметрия т является инволюцией с двумя неподвижными точками. Покажем, что на полученном 3-многообразии X можно двумя различными способами ввести структуру расслоения Зейферта. Первый способ состоит в том, что толстый цилиндр разбивается на окружности вида S1 х {*} х {*}, и это разбиение индуцирует на X структуру расслоения Зейферта без особых слоев с листом Мебиуса в качестве базы. Другими словами, X = fix S1. С другой стороны, X можно разбить на отрезки вида {*} х {*} х D1, которые после склейки оснований цилиндра превратятся в окружности. Такое разбиение индуцирует на X структуру расслоения Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями типа (2,1), соответствующими неподвижным точкам инволюции т. Лемма доказана. ¦
Отсюда следует, что /ixS1 получается склейкой 3-штанов и двух полноторий, т.е. лежит в классе (Q). Итак, мы доказали, что (W) С (Q).
Обратное включение (Q) С (W) очевидным образом вытекает из определения этих классов.
Итак, мы доказали, что (Н) = (Q) = (W).
Совпадение классов (Н) и (Н') доказано в работе С. В. Матвеева и А. Т. Фоменко [126]. Это доказательство изложено также в книге А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [42].
Класс (Н) строго меньше класса (М). Мы уже показали, что (Н) = {W). В то же время из работы Вальдхаузена [386] следует, что класс (W) не совпадает с классом (М) всех ориентированных замкнутых 3-многообразий. Как мы отмечали, известны некоторые интересные классы 3-многообразий, — например, класс гиперболических многообразий, — которые не лежат в классе (Н). ¦
Глава 5
Траекторная классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Первый шаг
5.1. Функция вращения системы на ребре молекулы.
Вектор вращения
Пусть, как и выше, v = sgradН — интегрируемая гамильтонова система, ограниченная на компактную изоэнергетическую поверхность Q3, и W* — ее меченая молекула.
Рассмотрим произвольное ребро е молекулы W*. Напомним, что оно изображает однопараметрическое семейство торов, т.е. прямое произведение тора Т2 на некоторый интервал. Предположим, что на некотором торе Лиувилля из этого семейства выбран и фиксирован произвольный базис в фундаментальной группе, т.е. пара циклов (А,/и). Согласно теореме Лиувилля, траектории гамильтоновой системы на этом торе являются прямолинейными обмотками (рациональными или иррациональными). Это означает, что существует такая система координат
(ср 1 mod 27Г, ср2 mod 27т) на торе, в которой векторное поле выпрямляется и имеет вид
д I г, д
v = о,---Ь о-—,
dip 1 oip2
причем координатные линии этой системы координат {<р2 = const} и {(pi = const} гомологичны базисным циклам А и fi соответственно.
Напомним, что числом вращения гамильтоновой системы на торе относительно базиса (A, /i) называется отношение р = Если Ъ = 0, то мы полагаем по определению, что р = оо.
Легко видеть, что число вращения является полным траекторным инвариантом интегрируемой системы на торе. См., например, [4], [11]. Можно считать далее, что базис (A, fi) гладко распространяется на все другие торы Лиувилля данного однопараметрического семейства. Это продолжение определено однозначно с точностью до изотопии, не влияющей на дальнейшие рассуждения. Будем считать, это рассматриваемое семейство торов параметризовано параметром f, изменяющимся от 0 до 1. Обозначим через T(t) тор Лиувилля, отвечающий значению параметра t. При движении тора внутри семейства значение числа вращения меняется, и в результате мы получаем некоторую функцию p(t), определенную на интервале (0, 1), где (t) — значение числа вращения в базисе (A, ji) на торе T2(t).
Траекторная классификация. Первый шаг
219
Определение 5.1. Функция p(t) на интервале (0, 1), называется функцией вращения данной интегрируемой системы.
