Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
4.9.6. Теорема о совпадении четырех классов многообразий
Таким образом, мы описали следующие четыре класса 3-многообразий:
(Я), (Q), (W), (Я').
Нам потребуются далее понятие связной суммы многообразий и понятие неприводимого многообразия.
Пусть М и N — два гладких многообразия одинаковой размерности п. Удалив из них по открытому шару Dn, получим два многообразия М \D и N \D с краем, гомеоморфным сфере S'71-1. Построим новое многообразие, склеив M\D и N \ D по какому-нибудь гомеоморфизму их граничных сфер. На этом многообразии можно задать гладкую структуру.
Определение 4.13. Получившееся n-многообразие обозначим через M#N и назовем связной суммой многообразий М и N. Многообразие называется примар-ным, если его нельзя представить в виде связной суммы двух других многообразий, каждое из которых отлично от сферы. Трехмерное многообразие называется неприводимым, если любая вложенная в него двумерная сфера ограничивает трехмерный шар.
Далее мы ограничимся рассмотрением лишь ориентируемых трехмерных многообразий.
Нижеследующая теорема является результатом усилий нескольких авторов: А. В. Браилова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко и X. Цишанга.
Теорема 4.3.
а) Четыре описанных выше класса 3-многообразий в действительности совпадают, т. е.
(Я) = (Q) = (W) = (Я').
б) Класс (Я) строго меньше (т.е. не исчерпывает) класса (М) всех 3-многообразий.
в) Если Q' и Q" — два любых многообразия из класса (Я), то их связная сумма Q = Я'ФЯ" также принадлежит классу (Я).
г) Если многообразие Q из класса (Я) является приводимым, т. е. представляется в виде связной суммы каких-то многообразий Q' и Q", отличных от сферы (т.е. Q = Q'#Q"), то оба многообразия Q' и Q" обязательно принадлежат тому же классу (Я).
Из этой важной теоремы 4.3 сразу получаем, например, такое следствие.
Предложение 4.9. Не каждое ориентируемое компактное замкнутое 3-многообразие может служить изоэнергетической 3-поверхностью гамильтоновой системы, интегрируемой при помощи боттовского интеграла.
216
Глава
Другими словами, не каждое многообразие из класса (М) является изоэнер-гетической 3-поверхностью интегрируемой боттовской системы. Это означает, как мы уже отмечали, что возникают новые топологические препятствия к интегрируемости (в классе не только боттовских, но даже ручных интегралов). В нижеследующей теореме приведен пример достаточно эффективного критерия, позволяющего устанавливать неинтегрируемость гамильтоновых систем. Напомним, что многообразие называется гиперболическим, если его можно снабдить полной римановой метрикой постоянной отрицательной секционной кривизны.
Оказывается, класс (Н) не содержит гиперболических многообразий [125]. Следовательно, любая гамильтонова система, имеющая в качестве изоэнергети-ческой 3-поверхности компактное замкнутое гиперболическое многообразие, не-интегрируема (на данной поверхности) в классе боттовских интегралов (и более того, даже в классе ручных интегралов).
4.9.7. Доказательство теоремы 4.3
Совпадение классов (Н) и (Q). Докажем сначала, что (Н) С (Q). Согласно определению, 3-многообразие Q из класса (Н) является компактной изоэнерге-тической поверхностью некоторой интегрируемой системы. Как было доказано ранее, оно представимо в виде склейки некоторого числа 3-атомов. Таким образом, достаточно доказать, что каждый 3-атом получается склейкой некоторого числа полноторий А3 = D2 х S1 и 3-многообразий В3 = N2 х S1, где N2 —
2-диск с двумя дырками. Будем для краткости называть это многообразие «штанами» (рис. 4.17). Если 3-атом не содержит звездочек, то он является прямым произведением 2-атома на окружность. Ясно, что любой 2-атом, являясь ориентированной 2-поверхностью Р с краем, получается склейкой некоторого числа поверхностей N, т. е. Р = N + N + ... + N. Умножая теперь это разложение на окружность, получаем искомое доказательство в случае атома без звездочек. Если же атом Р содержит звездочки, то на поверхности Р отмечены особые точки, указывающие особые слои типа (2,1) расслоения Зейферта. Окружая эти точки малыми дисками, мы можем выбросить из Q полнотория, т.е. многообразия типа А3, проектирующиеся на^эти диски. Тем самым, исходное многообразие Q представляется в виде Q — Q + А3 + ... + А3, где 3-многообразие Q имеет уже структуру прямого произведения 2-поверхности на окружность. Учитывая предыдущее построение, получаем требуемое утверждение. Итак, мы доказали включение (Н) С (Q).
Докажем обратное включение: (Н) D (Q). Поскольку любое 3-многообразие из класса (Q) склеено из полноторий D2 х S1 и 3-штанов N2 х S1, то искомое утверждение немедленно вытекает из теоремы реализации (см. выше).
Совпадение классов (Q) и (W). Докажем, что (W) С (Q). Для этого достаточно доказать, что расслоение Зейферта U3 получается склейкой некоторого числа полноторий и 3-штанов. Окружая особые слои расслоения Зейферта полно-ториями и удаляя их из U3, получаем 3-многообразие U, являющееся локально тривиальным расслоением над некоторой 2-поверхностью Р с краем (а если края нет, то вырежем из расслоения U некоторое расслоенное полноторие, чтобы край
