Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
3.3. Топологически устойчивые гамильтоновы системы
Определение 3.3. Интегрируемая гамильтонова система называется топологически устойчивой на изоэнергетической поверхности = {Н = ho}, если при достаточно малых изменениях уровня энергии структура лиувиллева слоения системы не меняется. Другими словами, системы (v, Q% ) и (v, Q\0+s) при достаточно малых г лиувиллево эквивалентны.
Что на самом деле означает топологическая устойчивость системы? Легко видеть, что множество классов лиувиллевой эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем (с боттовскими интегралами) в естественном смысле дискретно. Поэтому можно ожидать, что для конкретной системы имеется лишь конечное число бифуркационных значений энергии, при которых топология лиувиллева слоения скачком меняется. Такие значения энергии могут быть легко распознаны с помощью бифуркационной диаграммы отображения мо-Рис. 3.15 мента (Н, /): М4 —> R2. Если прямая {Н = ho}
на плоскости R2 пересекает бифуркационную диаграмму трансверсально (рис. 3.15) и не проходит через ее особые точки, то система топологически устойчива на Q3 = {Н = ho}- В противном случае, как правило, значения ho являются бифуркационными.
(х,в) /
________
Рис. 3.14
Глава 3
161
В предыдущем параграфе мы показали, что окрестность особого слоя лиувиллева слоения имеет структуру ориентируемого расслоения Зейферта. Можно ли задать ориентацию на слоях этого расслоения некоторым каноническим образом? Один из возможных способов сделать это таков. Критические окружности интеграла / являются одновременно слоями расслоения Зейферта и замкнутыми траекториями рассматриваемой гамильтоновой системы. Поэтому на каждой из этих окружностей уже имеется каноническая ориентация, задаваемая потоком. Эту ориентацию и можно было бы взять в качестве канонической ориентации слоев расслоения Зейферта. Однако, предварительно необходимо убедиться в том, что ориентации всех этих критических окружностей согласованы друг с другом, т. е. попросту совпадают (мы можем сравнивать между собой их ориентации, поскольку все они являются слоями одного и того же связного ориентируемого расслоения Зейферта). Оказывается, что достаточным условием согласованности ориентаций является топологическая устойчивость системы.
Пусть Q3 = Q\q = {Н = ho] — изоэнергетическая поверхность интегрируемой гамильтоновой системы v = sgrad Н на симплектическом 4-многообра-зии М4. Пусть /: Q3 —> М — боттовский интеграл системы v,n L — особый слой слоения Лиувилля на Q, задаваемого функцией /. Пусть далее Si, ... , Sk — критические окружности интеграла /, лежащие на особом слое L и ориентированные потоком V.
Предложение 3.8. Если система v является топологически устойчивой на Q3, то все окружности Si, ... , Sk имеют одинаковую ориентацию.
Доказательство.
Рассмотрим сначала каждую из критических окружностей Si, ... , S* по отдельности. Поскольку окружность Si невырождена, то с точки зрения объемлющего многообразия М4 она содержится в однопараметрическом семействе Si(s) невырожденных замкнутых одномерных орбит пуассонова действия группы М2 (порожденной полями sgradН и sgrad/). Рассмотрим образ этого семейства при отображении момента Т: М4 —> М2. Это будет некоторая гладкая кривая Si — часть бифуркационной диаграммы (см. предложение 1.18, глава 1 ).
Выясним, что происходит с особым слоем L слоения Лиувилля при малом изменении значения h гамильтониана Н. В силу топологической устойчивости системы v структура особого слоя L не меняется. В частности, критические окружности Si (г), ... , Sk(s) остаются на одном особом слое L(s) С Q\0+e при любом достаточно малом г (т. е. не расползаются на разные особые слои). Отсюда следует, что все кривые <5i, ... , Sk совпадают. Обозначим их просто через S. В силу предложения 1.18 главы 1 на критических окружностях Si, ... , Sk выполнено соотношение:
b sgrad Н — a sgrad / = О,
где а и b — координаты касательного вектора к кривой S.
Здесь важным является тот факт, что в случае топологически устойчивой системы коэффициенты а и b линейной зависимости векторных полей sgrad Н и sgrad / — одни и те же для всех критических окружностей Si, ... , Sk, лежащих на одном связном особом слое слоения Лиувилля.
162
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
Для того, чтобы доказать согласованность ориентаций всех окружностей Si,...,Sk, достаточно сравнить направления векторных полей sgradН и sgradF, где F — периодический интеграл, существующий согласно теореме 3.2 и задающий структуру ориентированного расслоения Зейферта на 3-многообразии U(L). Согласно теореме 3.2, существуют такие постоянные Л и ц, что на всем особом слое L имеет место соотношение:
sgrad F = Л sgrad Н + /л sgrad /.
А поскольку выполнено также равенство
b sgrad Н — a sgrad / = О,
то на всех критических окружностях Si, ... , Sk мы получаем одно и то же соотношение:
