Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, что расслоенные полнотория с параметрами (а, и) и (а, и + ка) послойно гомеоморфны. Поэтому можно всегда считать, что 0 < и < а. Более того, можно показать (см., например, [127]), что пара чисел (а, и), где 0 < v < а, является инвариантом расслоенного полнотория.
Пусть Q — многообразие Зейферта (с краем или без). Введем на нем отношение эквивалентности, полагая, что две точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одном слое.
Определение 3.2. Фактор-пространство многообразия Q по этому отношению эквивалентности обозначим через Р и назовем базой расслоения Зейферта.
Другими словами, пространство Р получается из многообразия Q стягиванием каждого слоя в свою точку. Образы особых слоев будем рис 3 9 называть особыми точками базы (расслоения
Зейферта).
Предложение 3.7. База Р любого расслоения Зейферта — это компактная двумерная поверхность (с краем или без).
Доказательство см., например, в книге С. В. Матвеева и А. Т. Фоменко [127]. ¦
В дальнейшем мы будем рассматривать только связные многообразия Зейферта с краем. Базами соответствующих расслоений Зейферта будут двумерные связные поверхности с краем. Отметим на базе точки, являющиеся проекциями особых слоев расслоения Зейферта. Припишем каждой такой точке тот же тип, что и у отвечающего ей особого слоя.
Теорема 3.1. Два расслоения Зейферта Q и Q' с краем послойно гомеоморфны с сохранением ориентации тогда и только тогда, когда
1) их базы гомеоморфны,
2) число и типы особых точек на базах совпадают.
Доказательство см. в книге [127]. ¦
Вернемся к интегрируемым системам на изоэнергетических 3-многообразиях Q.
Глава 3
155
Теорема 3.2.
а) В некоторой четырехмерной окрестности V(L) с МА особого слоя L существует гладкая функция F такая, что все интегральные траектории гамильтонова поля sgrad-F замкнуты, причем для любой такой траектории 7(f) выполнено соотношение 7(0) = 7(27г).
б) Функция F коммутирует с гамильтонианом Н и интегралом f. Их косые градиенты связаны соотношением:
для некоторых гладких функций А и ц, постоянных на слоях слоения Лиувилля. В частности, F является первым интегралом гамильтонова векторного поля v = sgradiJ, и каждая траектория 7(?) лежит на некотором слое слоения Лиувилля.
Будем называть такой интеграл F периодическим.
Доказательство.
1) Начнем со случая, когда интеграл / имеет на критической окружности S локальный минимум или локальный максимум. Здесь S совпадает с особым слоем L. В лемме 3.1 и на рис. 3.5 уже описано топологическое строение трехмерной окрестности U(L). Это — полноторие, расслоенное на концентрические торы, т. е. прямое произведение расслоенного диска D2 на окружность S1. Ясно, что четырехмерная окрестность V (L) в свою очередь может быть рассмотрена как прямое произведение U(L) на отрезок I. Таким образом, на V(L) = D2 х S1 х I определено естественное слоение на окружности вида {а} х S1 х {&}, где a ? D2, b ? I. Причем каждая такая окружность лежит на некотором торе Лиувилля. Искомую функцию F зададим теперь формулой
где а — дифференциальная 1-форма такая, что da = ш, а у(х) — окружность из описанного выше слоения, проходящая через точку х е V(L). Как мы видим, определение функции F аналогично построению функции действия (см. выше теорему Лиувилля). Отметим, что при изотопии окружности 7 функция F не меняется. Ранее уже было доказано, что интегральные траектории векторного поля sgrad-F лежат на торах Лиувилля, замкнуты с периодом 27т и гомологичны 7. Поскольку F играет здесь роль переменной действия, то, согласно теореме Лиувилля, она является функцией от Н и /. Следовательно, sgrad-F является некоторой линейной комбинацией векторных полей sgradiJ и sgrad/, что и доказывает пункт (б) теоремы в случае локального минимума или максимума. Отметим, что структура прямого произведения D2 х S1 на окрестности U(L) задается неоднозначно, что приводит к неоднозначности функции F.
2) Рассмотрим теперь седловой случай. Схема доказательства здесь такая же, но следует уточнить, по каким циклам 7 будет вестись интегрирование. Как и в предыдущем случае, возьмем все критические седловые окружности
sgrad F = A sgrad Н + ц sgrad /
156
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
S\,...,Sk слоя L, и их трехмерные окрестности U(Si), ... , U(Sk) в Q. Строение этих окрестностей мы уже знаем из леммы 3.1. А именно, если седловая окружность Si имеет ориентируемую сепаратрисную диаграмму, то ее окрестность является прямым произведением двумерного креста на окружность. Эта окрестность расслоена на окружности, каждая из которых лежит на своем торе Лиувилля. В неориенти-руемом случае такое слоение на окружности 7 тоже можно определить. Но в этом случае каждая окружность 7, отличная от Si, будет обходить вокруг оси Si дважды. Это означает, что окрестность U(Si) имеет Рис. 3.10 структуру расслоенного полнотория с параметрами
