Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
где ki — целые числа и ^ к2 ф 0. В противном случае тор называется нерезонансным.
Тор Лиувилля является нерезонансным тогда и только тогда, когда замыкание любой интегральной траектории поля, лежащей на нем, совпадает со всем тором. И напротив, в резонансном случае замыкание траектории является тором строго меньшей размерности.
Определение 1.14. Интегрируемая система называется нерезонансной на М2п (или на каком-то инвариантном подмножестве), если почти все торы Лиувилля нерезонансны. Система называется резонансной, если все ее торы Лиувилля резонансны.
Замечание. В гладком случае интегрируемая система может не принадлежать ни к одному из этих двух классов (т.е. не быть ни резонансной, ни нерезонансной). Такие системы мы рассматривать не будем, поскольку реальные аналитические системы всегда имеют однозначно определенный тип: либо резонансные, либо нерезонансные.
1.7. Число вращения
Для простоты рассмотрим интегрируемую систему с двумя степенями свободы на четырехмерном симплектическом многообразии М4 и пусть Т — любой тор Лиувилля. Рассмотрим угловые переменные (р±, (р2 на этом торе (построенные в теореме Лиувилля). Тогда гамильтонова система v = sgradН, ограниченная на тор Т, принимает вид
sgrad Sry = —— и утверждение становится очевидным.
ф\ = Cl, ф2 = С2.
36
Глава 1
Определение 1.15. Числом вращения р интегрируемой системы v на данном торе Лиувилля Т называется отношение
Величина р зависит от тора Лиувилля Т, а потому является в действительности функцией от переменных действия si, s2 или от первых независимых интегралов Д, /2 системы, поскольку переменные действия и эти интегралы выражаются друг через друга.
Предложение 1.11. Запишем гамильтониан Н как функцию от s±, s2. Тогда
Доказательство.
Поскольку форма ш в переменных действие-угол приняла канонический вид,
то
Понятие числа вращения является, в действительности, топологическим. Это видно, например, из следующего предложения.
Если тор Лиувилля Т резонансный, то все интегральные траектории поля v замкнуты и гомологичны между собой (и даже изотопны на торе). Пусть Ли р, — базис в фундаментальной группе 2-тора, т.е. два независимых цикла, гомологичные координатным линиям угловых переменных <рг и <р2. Тогда замкнутая траектория 7 поля v может быть разложена по этому базису:
Предложение 1.12. Число вращения р на резонансном торе имеет вид
Другими словами, в этом случае число вращения р определяет топологический тип замкнутой траектории 7 однозначно с точностью до направления.
Доказательство.
гр .Ci ci р
Так как тор — резонансный, то р = — — рационально, а потому — = -для некоторых целых р и q. Ясно, что следующие два векторных поля
_ dH/ds 1 Р~ dH/ds2'
sgrad Н
дН д дН д
dsx д<р\ ds2 dip2'
Искомая формула следует теперь непосредственно из определения р.
7 = рХ + qp.
имеют совпадающие интегральные траектории. Но траектории второго поля, очевидно, замкнуты и имеют тип рХ + qp. Предложение доказано. ¦
Основные понятия
37
Замечание. В силу этих соображений резонансные торы иногда называют рациональными, а нерезонансные — иррациональными.
Для подсчета числа вращения р не обязательно использовать переменные действие-угол. Их поиск обычно достаточно нетривиален. Вместо них можно пользоваться любой системой координат (х mod 27т, у mod 27т) на торе, координатные линии которой гомотопны линиям уровня канонических угловых переменных (pi и (fi2- Удобно рассмотреть х и у как координаты на плоскости, накрывающей тор Т. Пусть x(t) и y(t) — координаты точки произвольной интегральной траектории поля v.
Предложение 1.13. Имеет место формула:
у x(t) р = lim ——. y(t)
Доказательство.
Выбирая новые периодические координаты на торе, мы всего лишь меняем форму фундаментальной области решетки на 2-плоскости (рис. 1.3). Можно считать, что сами узлы решетки при этом не изменились.
Отсюда сразу следует, что для некоторой константы С имеют место оценки:
\x(t) ~ <Pi(t)\ ^ <7, \y(t) - (p2(t)\ ^ С.
Но так как = c\t + const и (p2(t) = c2t + const, то
lim
t^oo y(t)
Cl
C2
Предложение доказано.
