Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Эта скобка становится невырожденной на орбитах коприсоединенного представления, и задаваемая ею на орбитах симплектическая структура совпадает с описанной выше.
1.3. Теорема Дарбу
Теорема 1.1 (Теорема Дарбу). У каждой точки на симплектическом многообразии (М2п, ш) существует открытая окрестность с регулярными локальными координатами pi, ... , рп, q\, ... , qn, в которых симплектическая форма ш принимает канонический вид ш = dpi A dqi.
Замечание. Условие записи формы в каноническом виде ш — ^2 dpi A dqi можно эквивалентным образом переписать на языке скобок Пуассона:
{Pi, Pj} = о, {pi,qj} = Sij, {qi, qj} = о для всех 1 < i, j < п.
Доказательство.
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 1.1. Пусть на симплектическом многообразии М2п в окрестности некоторой точки заданы п независимых попарно коммутирующих функций Pit ••• ? Рп- Тогда существуют п независимых функций q±, ... , qn, дополняющих набор pi, ... , рп до канонической системы координат, т.е. таких, что {Pit Pj} = 0, {Pi, qj} = Sij} {ft, qj} = 0 для всех 1 ^ i, j ^ n.
Доказательство.
1) Рассмотрим линейно независимые векторные поля = sgrad pi, отвечающие функциям pi,... ,Рп• Так как
[sgrad pi, sgrad pj] = sgradjp;, pj} = 0,
то векторные поля v\, ... , vn коммутируют.
2) Для коммутирующих векторных полей Vi по теореме Фробениуса (см.,
например, [187]) найдется такая локальная регулярная система координат
х1, ... , хп, 2/1, , Уп, что Vi = sgradp; = 1 ^ ^ п.
3) Запишем pi как функции от новых координат х\, ... , хп, у\, ... , уп,
т.е. представим их в виде pi = Pi(x, у). Мы утверждаем, что в действитель-
ности pi = Pi(y), т.е. они не зависят от х. В самом деле,
щЫ = sgradpj{pi) = {pj, Pi} = 0.
4) Вместо набора функций (х, у) рассмотрим теперь в качестве локальных координат набор (х, р). Это можно сделать, поскольку функции pi = Pi(y) по условию независимы.
Основные понятия
23
5) Докажем, что попарные скобки Пуассона функций ж и р имеют вид: {ж*, Xj} = Лij(p), {Pi, Xj} = Sij, {Pi, Pj} = 0. В самом деле,
{pi, Xj} = sgradр{(xj) = -^(xj) = ^j.
Далее, скобки Пуассона {Xi, Xj} представляются как некоторые функции Лij(x, р). Докажем, что они не зависят от х. В самом деле,
{хи Xj} = sgradXj} = {pk, {xi, ж.,}} =
= {xj, {xi, pk}} + {xi, {pk, Xj}} = 0,
так как {xs, pt} = Sst = const. Итак, {Xi, Xj} = Aij(p).
6) Подправим теперь функции x, чтобы получить каноническую систему координат. Для этого будем искать координаты q в виде qj = Xj — fj(p)-Функции fj должны быть таковы, чтобы выполнялись следующие соотношения: {Pi, Qj} = $ij, {Qi, Qj} = 0. Имеем
{Pi, Qj} = {Pi, Xj - fj{p)} = {pi, Xj} - {pi, fj{p)} = Sij + 0 = Sij.
Итак, соотношение {pi, qj} = Sij выполнено автоматически.
7) Далее:
{Qi, Qj} = {xi ~ fiip), Xj - fjip)} =
= [Xi, Xj} - {х{, fj(p)} + {xj, fi(p)} = Xij ~ Щ +
Мы воспользовались здесь тем, что
{Xh fi{p)} = ^ (Ш = = “lw'
к к
Это следует из общего равенства:
Таким образом, для выполнения условия {qi, qj} = 0 необходимо и достаточно,
чтобы Хц — = 0. Для того, чтобы такая система уравнений была раз-
dpj др{
решима относительно неизвестных функций /j, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия совместности этой системы:
9Хар дХ-уа дХр-у „
r\ Т r\ Т г\ ^ •
С/pj up/3 ОРа
24
Глава 1
Это последнее тождество действительно выполнено. В самом деле,
{{ха, хр}, ж7} = {Лар, ж7} = ^,
поэтому условие совместности эквивалентно тождеству Якоби:
{{ха, хр}, ж-у} + {{ж7, ха}, Хр} + {{хр, ж7}, ха} = 0.
Итак, построенные выше функции г/* удовлетворяют всем требованиям леммы. Лемма доказана. ¦
Возвращаемся к доказательству теоремы Дарбу. В силу леммы 1.1 нам остается показать, что в окрестности любой точки на симплектическом многообразии всегда существуют независимые функции pi, ... , рп, находящиеся в инволюции. В действительности, справедливо даже более сильное индуктивное утверждение.
Лемма 1.2. Если имеется к независимых функций pi, ... , Pk, находящихся в инволюции, где к < п, то всегда существует независимая от них функция Pk+i такая, что {pk+i, Pi} = 0 при 1 <:i<:k.
Доказательство.
Следуя доказательству предыдущей леммы, получаем, что для функций Pi,... , pk всегда существует локальная регулярная система координат xi,... , ж к,
У\? • • • ? У2п-к такая, что sgrad р* = 1 ^ i ^ к. Как и выше, отсюда следует,
ОХ%
