Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем следствие из этой теоремы для класса так называемых простых интегрируемых гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Систему мы назовем простой, если ее гамильтониан F является простой функцией Морса, т. е. на каждом критическом уровне функции F лежит ровно одна критическая точка. В терминах молекул Y это означает, что молекула состоит лишь из атомов типов А и В.
Следствие. Рассмотрим класс простых интегрируемых систем с одной степенью свободы. Две системы из этого класса топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их молекулы Yi и Y2 совпадают, и для каждой пары соответствующих друг другу ребер этих молекул функции периодов топологически сопряжены.
Глава 7
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков на двумерных поверхностях
7.1. Построение гладких инвариантов на 2-атомах
В этой главе мы рассмотрим вопрос о классификации гамильтоновых векторных полей на 2-поверхностях в гладком случае. Разумеется, все топологические инварианты, построенные нами выше, остаются и гладкими инвариантами, но их, конечно, недостаточно для гладкой классификации. Однако, хотя гладких инвариантов больше чем топологических, устроены они более естественным образом. Мы начнем с изучения атомных гладких инвариантов. Итак, пусть, как и выше, (Р, К) — некоторый 2-атом с гладким гамильтоновым векторным полем v = sgrad / на нем. Без ограничения общности в этом параграфе мы будем предполагать, что К = /-1(0).
Замечание. В этой главе гамильтониан системы будет обозначаться через / вместо F. Напомним, что мы использовали обозначение F для гамильтониана Пуанкаре на трансверсальной 2-площадке, а / обозначал у нас ранее интеграл исходной системы на М4. Вообще говоря, функции / и F, конечно, различны. Но с другой стороны, изменяя симплектическую структуру на трансверсальной площадке, мы можем в качестве гамильтониана потока Пуанкаре рассматривать дополнительный интеграл /. Мы можем произвести такую замену, поскольку нас интересует гамильтонов поток сам по себе, а не конкретный способ его задания с помощью симплектической структуры и гамильтониана. Кроме того, в настоящей главе речь будет идти о потоках на двумерных поверхностях, т. е. о самостоятельной задаче, представляющей интерес даже вне связи с классификацией систем на изоэнергетических 3-поверхностях.
Сначала естественно рассмотреть вопрос о классификации гамильтонова векторного поля в окрестности особой точки гамильтониана /, т.е. вершины атома.
Если атом имеет тип А (т.е. точка является точкой минимума или максимума гамильтониана), то исследование этого случая не представляет труда. Траектории этого векторного поля являются окружностями вокруг особой точки, и это поле полностью характеризуется функцией периода этих траекторий.
Рассмотрим седловой случай. Поскольку гамильтоново векторное поле полностью определяется симплектической структурой и гамильтонианом, то наша задача может быть решена при помощи следующей леммы о каноническом виде гамильтониана, доказанной в [262].
Лемма 7.1. Пусть S — невырожденная седловая особая точка гамильтониана f. Тогда существует регулярная система координат (х,у) такая, что
а) ш = dx A dy;
б) f = f(z), где z = ху.
274
Глава 7
Это утверждение можно рассматривать как естественное обобщение двух классических результатов: леммы Морса и теоремы Дарбу. Нам будет удобно переформулировать его в следующей эквивалентной форме.
ки, имеющий одну и ту же природу с введенным выше Л-инвариантом. Выберем в окрестности особой точки S любую систему координат (и, v), в которой гамильтониан записывается в виде / = uv, и пусть ш = со(и, v) du A dv. Разложим функцию ш(и, v) в ряд Тейлора в точке S:
к=0
Определение 7.1. Ряд Л* (S') называется А* -инвариантом седловой особой точ-
Покажем, что Л*-инвариант не зависит от выбора системы координат (u,v). Для этого дадим еще одно бескоординатное определение этого инварианта через некоторые естественные характеристики векторного поля w. Рассмотрим крест U(S), окружающий особую точку S', показанный на рис. 7.1. Кривые TVi, TV2, 7V3, N4 являются гладкими и пересекают траектории поля w трансверсально. Ясно, что при любых гладких диффеоморфизмах качественный вид этой области сохраняется.
Рассмотрим, как и выше, функцию тг(/), которая для каждой траектории с фиксированным значением функции / указывает время движения вдоль участка этой траектории 7/, высекаемого отрезками Ni и N2. Выше (лемма 6.2) мы получили следующее представление для функции ж(/):
Лемма 7.2. Пусть S — невырожденная сед-ловая особая точка гамильтониана /. Тогда существует регулярная система координат (ж, у) такая, что
a) f = ху;
б) ш = сo(z) dx A dy где z = ху.
Рис. 7.1
Кроме этой леммы нам понадобится также знать ответ на следующий вопрос: как найти функцию сo(z), не находя явно каноническую систему координат из леммы 7.2. Чтобы на него ответить, определим Л*-инвариант особой точ-
