Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Второй тип отождествлений — это склейки пар ребер, обозначенных одинаковыми буквами.
Ясно, что мы можем провести эти два типа склеек в обратном порядке, т. е. сначала выполнить склейки второго типа, а лишь затем — склейки первого типа.
Начав со склеек второго типа, мы обнаруживаем, что каждая абстрактно заданная окружность превратится в «звезду», у которой в центре расположена белая вершина, а концы всех выходящих из центра ребер — черные (рис. 6.15). При этой склейке черные и белые вершины не перемешиваются.
Теперь мы можем приступить к склейкам первого типа. При этом (исходя из определения) мы должны склеить каждую черную (концевую) вершину каждой
6
Рис. 6.14
Рис. 6.15
262
Глава 6
звезды с какой-то другой белой (центральной) вершиной другой (быть может, той же самой) звезды.
В результате должен получиться граф К комплекса Р. Совершенно очевидно, что при этой операции число белых^вершин не меняется и все они превращаются в различные вершины комплекса К. Следовательно, число вершин комплекса К в точности равно числу белых вершин (после первой склейки), т.е. — числу исходных абстрактно заданных окружностей q. Лемма 6.11 доказана. ¦
Лемма 6.12. Имеет место следующее равенство:
dim.H1(P) = 2 g— dim.yHi(P).
Доказательство.
Мы утверждаем, что интересующий нас комплекс Р будет гомотопически эквивалентен комплексу, который может быть получен из поверхности Р заклейкой каждой атомной окружности диском. Более точно это означает, что сначала мы рассматриваем погружение S1 в поверхность Р, образом которого является данная атомная окружность, а затем, считая S границей 2-диска, приклеиваем этот диск по отображению его границы к Р.
Рис. 6.16
Покажем, что полученный комплекс гомотопически эквивалентен комплексу Р. Для этого устроим непрерывную деформацию каждого приклеенного 2-дис-ка по себе так, чтобы граничная окружность стянулась на звезду с центральной белой вершиной и ребрами, кончающимися черными вершинами. Это в точности
даст комплекс Р (рис. 6.16).
Таким образом, при переходе от Р к Р мы заклеиваем дисками все атомные окружности и только их. С гомологической точки зрения это означает, что переходя от Р к Р мы просто «убиваем» циклы, образованные атомными окружностями. Следовательно, отображение р*: Н\(Р) —> Hi(P), индуцированное склейкой р: Р Р, является эпиморфизмом, причем kerp* = jHi(P). Отсюда
dimH1(P) = dimHi(P) = dimHi(P) — dimyHi(P) = 2 g— dim у Hi (P),
что и требовалось доказать.
Опишем теперь базис в пространстве A*(V).
Классификация гамильтоновых потоков
263
Укажем сначала часть этого базиса, отвечающую атомным окружностям 7i, ... , 7д. Возьмем любую атомную окружность 7* и построим с ее помощью набор чисел b(ji) на вершинах графа К, принадлежащий пространству А*(У). Двигаясь вдоль этой окружности, мы будем поочередно ставить на встречающихся нам вершинах графа К числа +1 и —1 (рис. 6.17). Для определенности, стартуя с какого-нибудь ребра, мы ставим на его начало +1, а на конец —1. Если через какую-то вершину мы проходим два раза, то, следуя сформулированному выше правилу, мы должны поставить на нее, как нетрудно убедиться, числа разных знаков (т.е. +1 и —1). В качестве итога возьмем их сумму, т. е. ноль. Кроме того, нули мы поставим на всех остальных вершинах графа К, через которые атомная окружность не проходит. В результате мы получим некоторую 0-мерную цепь b(ji).
Несложно непосредственно убедиться в том, что 0-цепи b(ji), ... , b(jg-i) являются линейно независимыми элементами пространства А*(У). Для формального доказательства достаточно воспользоваться описанным выше изоморфизмом пространства А* (У) и
пространства Z1(P) 1-коциклов комплекса Р (лемма 6.10). Напомним, что каждой атомной окружности 7* взаимно-однозначно соответствует некоторая вершина Sj комплекса Р.
Рассмотрим элементарную коцепь Sj G С°(Р), отвечающую этой вершине. Легко видеть, что кограница этой коцепи в точности отвечает элементу b(ji).
Перейдем к явному описанию «второй половины» базиса в подпространстве А*(У). Эта часть базиса отвечает элементам группы Я1(Р). Рассмотрим подгруппу 'yHi(P), порожденную классами гомологий [7*] 1 ^ i ^ q на поверхности Р. Пусть а — произвольный целочисленный 1-коцикл из i?1(P), ортогональный подпространству 'уН1(Р). Таких линейно независимых коциклов существует, очевидно, р штук, где р = 2g — dim'yHi(P), и для каждого из них мы предъявим сейчас некоторый элемент Ь(а) из А*(У). Будем считать, что коцикл а реализован в виде окружности, гладко погруженной в поверхность Р. Условие ортогональности этого коцикла всем атомным окружностям означает, что его индекс пересечения с каждой из них равен нулю.
Построение элемента Ь(а) мы разобьем на несколько шагов.
Шаг 1. Рассмотрим произвольную атомную окружность 7* и все точки пересечения этой окружности с коциклом а. Считая, что на атомной окружности и на коцикле задана какая-то ориентация, каждой из точек пересечения мы можем приписать знак плюс или минус, как это обычно делается при определении индекса пересечения. Поскольку индекс пересечения а и 7* равен нулю, то точек
