Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
точек (такие траектории не являются типичными и заполняют подмногообразия
меньшей размерности).
Рассмотрим поведение траекторий системы (6.1) на инвариантной плоскости
X. Система (6.1) при yt = 0. z/7- - ук = 1/]/2, Sj = sitг принимает вид
в* = 2 (1 к) SiSj (Sj si)(isj s^),
w = 2wst [4 - (1 - k)(8i + 2sj)(4sj - Si)l (}
где s? + 2s] = 1. Система (6.19) определена в области Я2 = Si(4sj-
- > 0, или 4sj < Si < 0. Система (6.19), очевидно, имеет
отрезок притягивающих особых точек Ту. st == 0, 0 ^ оо, притягивающую
особую точку s* = -1/3 |^2, w = 0, лежащую на отрезке At, и седловую
особую точку si = - 1/]/^2, w = 0, лежащую на отрезке Ф?. При т -*¦ + оо
траектория s* = Sj входит в особую точку на отрезке Ф?, траектории в
области Sj < < s* входят в отрезок Tt, а траектории в области 4Sj < st <Z
Sj входят в особую точку на отрезке At. При т - оо все траектории системы
(6.19) выходят из вырожденной особой точки Т\ (sa =
= о, г/г = 0, У) = Ук = 1//2).
V. Сепаратрисная диаграмма при сжатии пространства. Результаты
проведенного исследования сепаратрис особых точек Флх> Ni, Ti, At, Bt,
(г|), i) собраны в сепаратрисной диаграмме табл. 3. В диаграмме
используются обозначения: заполненный квадрат означает сепаратрису,
идущую (при направлении времени в сторону сжатия) из одного множества
особых точек в верхней строке в другое множество в столбце, цифра в нем
означает размерность этой сепаратрисы, пустой квадрат означает
отсутствие, сепаратрисы, буква Т обозначает отображение проектирования
(6.16).
При направлении времени в сторону сжатия каждая траектория системы (6.1),
как показано в § 4, в силу наличия монотон-
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
77
НОЙ функции F = (Si + s2 + S3)/w (У1У2Уз)1/г при X > оо приближается к
компонентам границы Гх, Г2, Г3, Г^. Траектории (сепаратрисы), входящие в
неустойчивые особые точки Фдх" ЛГ*" Т\, соответствуют решениям со
степенной асимптотикой метрики вблизи особенности (6.9) - (6.11). Все
остальные траектории при т->оо начинают двигаться вдоль траекторий
системы (6.1) на компонентах границы Гх, Г2, Г3, Г^, которые, как
показано в пп. II-IV, идут из одной неустойчивой особой точки в другую.
Таким образом, почти все траектории системы (6.1) при тоо движутся вдоль
последовательностей сепаратрис неустойчивых особых точек и допускают
поэтому сепаратрисную аппроксимацию.
Согласно сепаратрисной диаграмме (табл. 3) траектория, после конечного
числа переходов (не более трех) вдоль сепаратрис особых точек Фдх, Ni,
7^, начинает двигаться вдоль сепаратрис трех особых окружностей (г|), ?),
которые образуют замкнутую систему. Итак, траектория при т->оо
аппроксимируется бесконечной последовательностью сепаратрис
Сфо, а0) ai) -*¦ (ф2, а2) ... (6.20)
При этом (г|)8+ъ as+i) является однозначной функцией от (i|)s, as), если
лежит на дугах ((3^*, i) и (|3^, i); если же if>s лежит на дуге (Pjfr,
i), то переход к (i|)s+i, as+i) двузначен:
(Ptf,*)"(Pi",0-^(Pj*./)- (6.21)
Переход I осуществляется вдоль двумерной выходящей сепаратрисы, а переход
II- вдоль ее граничной одномерной сепаратрисы, при этом, исходя из
результата пути II, на следующем шаге мы придем к тому же результату, что
давал путь I за один шаг.
Три окружности (if), к) и выходящие из них (при направлении времени в
сторону сжатия пространства) сепаратрисы образуют инвариантное
относительно динамической системы (6.1) множество Р, являющееся клеточным
комплексом. Одномерными клетками множества являются окружности (г|), А),
двумерные клетки заполнены сепаратрисами окружностей (if), к), лежащими в
углах границы Г, трехмерные клетки заполнены сепаратрисами, лежащими на
компоненте границы и выходящими из дуг i) и осуществляющими переход I в
(6.21).1
Множество Р является притягивающим множеством динамической системы (6.1).
Действительно, в силу существования монотонной функции F (4.2) все
траектории системы (6.1) при т -"¦ оо неограниченно приближаются к
компонентам границы Гх, Г2, Г3, Гш многообразия S. Почти все" траектории
динамической системы на компонентох границы Г* (i - 1, 2, 3) (кроме
некоторых исключительных сеиаратрис), в силу существования мнонотоных
функций Fi (6.18) нрит~> оо стремятся к множеству Р, точнее, к трем
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (6.1) для однородной
S грО г флх Ф9 г
флх 3
Ti 3 7 = 1, 2, 3 2 / = i
N} 2 / = 1, 2, 3 1 / = i ± 1
фв 3 2 7 = i
О (c) 1 7 = 1
4 a; = 1, 2, 3 y=s±l 3 д; = i -f- 1 у = z±l
(Pj/ж' х) 4 х = i db 1 y = i 3 x = i 4- 1 У = i 3 a?
= i y = ?±l 3 x = i H- 1 У = i
(Р#*. *) 3 x - i y = i ±1
("*. *) 3 x = 1, 2, 3 2 i = i + 1
(6*> *) 2 x = i
А> 3 / = i 2 / = i 2 j = i
в> 3 / = 1,2,3 2 f = i
Таблица 3
каем алогической модели IX типа (при сжатии пространства)
ф"° (Pij. 0 (P,v 0 (Pjk* 0 ("г 0 (bv i) **
2 х = i У = i± 1 2 a? - / У = i 3 яг = / У - к
+1 (М - il II 2T x - i у =i 2 x = к У = / 2 я -
