Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
так как тензор — Rii + ^iR является гамильтоновой производной инварианта тензора Риччи.
Возвращаемся к вопросу об уравнениях поля.
Пусть Hii — ковариантные компоненты гамильтоновой произт водной, отличной от тензора Эйнштейна. Применяя уже употреблявшееся разложение gif = 6t7 + Iiii, допустим, что в первом приближении тензор Hii пренебрежим, так как если он содержит члены, линейные относительно величин Af/, то его можно снабдить достаточно малым постоянным множителем. Система уравнений
Rii--TgiiR +Hii = -SnTii
с точки зрения условий A-D равноценна уравнениям поля в форме (5,5,14). Таким образом, отказываясь от дополнительного условия Эйнштейна о порядке высшей производной от g(i в тензоре Хф мы приходим к заключению о том, что, начиная со второго приближения, уравнения поля ОТО содержат неизбежный произвол. Условия А—D не позволяют выбрать уравнения поля однозначно или установить какое-либо преимущество уравнений Эйнштейна по сравнению с другой возможной их формой. Иными словами, приходится признать, что физические предпосылки ОТО не составляют достаточной основы для однозначного развития количественной теории гравитации.
7. Другая форма уравнений поля. В некоторых случаях удобно пользоваться другой формой уравнений поля Эйнштейна, отличной от (5,5,4).
Введем скалярную функцию координат
L = Vg gox (1? - Г2хГ?р), (5,7,1)
которую по аналогии с ньютоновой механикой обыкновенно называют функцией Лагранжа.
Примем также
= tt, яЧ = (5,7,2)
Воспользовавшись определением символов Кристофеля, нетрудно убедиться в том, что функция Лагранжа может быть выражена через величины qci и Имея это в виду, составим производные 7. Другая форма уравнений поля
149
функции L по переменным qu, qli. С этой целью образуем полный дифференциал функции Лагранжа и представим его так:
dL = YU(goxV~Zn.) + n*d(gax V=~g ГІ) -
- ти г&) - гу ^ozVzzS Г?,) -
- (JVia - 1?) d (gax (5,7,3)
Преобразуем первый член правой части этого равенства. Если символ rjfT написать в развернутой форме
JL rxav , _
2 ^ { дх* + дхP ах» j'
2
то этот член можно привести к виду
или
так как при дифференцировании известного соотношения gavgXy — = б? получается тождество
^TV _ дЦ
^ дх* - gxy дх* '
Аналогично можно преобразовать остальные члены двух первых строк правой части (5,7,3). Таким образом, получим
IUtinV=Ht) - —f гЦу^-^-); IUtin V^giU = -4- fxr)>
TUigax V~S rS?) = ги (> ;
iV (gax = - rg?d {-A- (K^ gav) 150
Г лава V. Общая теория относительности
Внося эти соотношения в выражение дифференциала функции Лаграйжа, после необходимых упрощений найдем
dL = -ТЫ-^r (V=Hga*) +
+ Itpd (V=g ?П - (1? -1?) d (
Применяя обозначения (5,7,2), можно окончательно записать
dL = (- + 6?rgp) dqV - (Г?Лс - rg?l^) dqQ\
Это равенство и определяет искомые производные, которые служат коэффициентами при соответствующих дифференциалах.
Имеем
dL
dq"
(5,7,4)
— Гй + бП.
VJ
С помощью полученных соотношений можно показать, что лагранжиан является однородной функцией величин qli и их производных <7а-
Умножим первое соотношение на qU и выполним полное свертывание. Принимая во внимание определение функции Лагранжа (5,7,1), найдем
dL dqli
г Qii = - Qii - rrt) = — L.
Величину ql представим следующим образом:
де11
Производную —найдем с помощью применявшегося выше соотношения
8ах дх" 8 д^
Умножим это равенство на gx>; после свертывания получим
дха ё s д**
Если внести сюда
d^ _ г , г
—ZTc~L~ — 1 <*ад "г 1 ш,<J» дх 7. Другая форма уравнений поля
151
согласно формуле (4,3,3), то указанная производная примет вид
-aST- ? Aoa-g- ixa.
Учитывая также соотношение
n?0 dlnV=g
Aa?" J? '
которое нетрудно получить из определения символа Кристофеля, можно написать
й - + Л).
Умножим это равенство на второе из равенств (5,7,4) и выполним свертывание по всем трем индексам. После очевидных упрощений найдем
dL *2
<& = 2 1r=g gm (Г*0Г% - 1?).
Итак,
Степень однородности функции Лагранжа относительно величин Ф равна —1, тогда как относительно производных qi эта функция имеет показатель однородности +2.
Воспользуемся теперь соотношениями (5,7,4), чтобы с помощью функции Лагранжа составить выражение для компонент тензора Риччи.
Образовав свернутую производную и вычтя из нее
первое соотношение (5,7,4), найдем, согласно общему определению тензора Риччи (4,9,1),
/? - д OL dL /C7ft
Инвариант этого тензора равен
я = ^Zli--J*___«М
Поэтому, представив равенство (5,7,6) в форме
г> оОст Id dL dL \
«ч - 6^/ ^rJ. 152
Г лава V. Общая теория относительности
можно написать следующее выражение для компонент тензора Эйнштейна:
R11-U,« - (W - і »«•-)(-?¦
Уравнения поля (5,5,4) принимают вид
(«W -І M«) (? - — W,, (5,7,7)
Введя инвариант тензора энергии-импульса, можно привести уравнения поля к несколько более компактной форме. С этой целью следует воспользоваться равенством (5,5,12), в котором скаляр тензора Риччи выражен через указанный инвариант. Внеся в это равенство соотношение (5,7,6), получим
