Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Кц=-*\Тц—Т8цТ} (5,5,12)
В рассмотренном выше линейном приближении этому соответствует система уравнений
-Г ? Ьц « - * (Ти - -т ёцТ). (5,5,13)
Применим (5,5,13) к последней компоненте метрического тензора, для которой і = / = 4.
Принимая во внимание, что механические скорости небесных тел весьма малы по сравнению со скоростью света, оператор ? можно отождествить с оператором Лапласа, взятым с обратным знаком. По той же причине можно принять, что из всех компонент тензора энергии-импульса в первом приближении от нуля отличается только Г44 = р. В соответствии с этим имеем T44 = T = р. Последнее из уравнений поля (5,5,13) принимает вид V2A44 = хр, совпадая с уравнением Пуассона для гравитационного потенциала, чем и обеспечивается выполнение условия D.
Количественное совпадение с уравнением Пуассона (5,5,1) достигается выбором коэффициента х. Если все вычисления выполнить в системе CGSj то получится
(5,5,14)
В релятивистской системе единиц, в которой гравитационная постоянная теории Ньютона и скорость света имеют единичные значения, указанный коэффициент равен 8л *.
* Если /, t, m — длина, время и масса, выраженные в релятивистских единицах, a L9 T9 M — те же величины в системе CGS9 то соотношения между ними определяются равенствами
1 Ca
L = I см; T = — t сек; M — — m г, с Y
где CtY — скорость света и гравитационная постоянная в системе CGS. 5. Неоднозначность уравнений поля
143
В ОТО обыкновенно пользуются релятивистскими единицами и поэтому уравнения поля пишут в следующем виде:
Ru -TgiiR = - 8пТф (5,5,15)
или
Rtl = -8 л(ти—LgiiTy (5,5,16)
Не нарушая уравнения Xf/a = 0 и дополнительного требования о порядке высшей производной метрического тензора, можно прибавить к тензору Эйнштейна член вида C2gii, где C2 — произвольная постоянная. Такое обобщение уравнений поля нетрудно также согласовать и с условием Dt если постоянная C2 будет так мала, ЧТО при переходе К первому приближению член Czgii окажется пре-небрежим. Это обобщение уравнений поля было предложено Эйнштейном в 1917 г. в связи с попыткой применить ОТО к космологии 115]. Обобщенную форму уравнений поля принято писать в виде
Ra - 4" SaR + aSi1 = - (5'5'17>
Коэффициент Л носит название космологической постоянной.
6. Неоднозначность уравнений поля. В предыдущем параграфе сформулированы четыре условия, которым должны удовлетворять уравнения поля. Присоединение к ним дополнительного условия, требующего, чтобы тензор Xii в (5,5,3) был линейной функцией вторых производных от компонент метрического тензора и несодержалг производных более высоких порядков, позволяет определить этоT тензор однозначно. Единственность уравнений поля может при этом нарушаться лишь вследствие неточности определения тензора, энергии-импульса. Если же отказаться от дополнительного требования, которое не получило обоснования с физической точки зрения и выдвинуто лишь по аналогии с уравнением Пуассона, то уравнения поля ОТО оказываются неоднозначными, поскольку их. нельзя вывести из условий А—D.
Точная форма уравнений поля определяется решением уравнения
X^tja — 0, (5,6,1)
где Xii — искомый симметричный тензор второго порядка.
Покажем, что тензор Эйнштейна Rii— у SuR не является единственным решением уравнения (5,6,1). Интегрирование этого уравнения в общем виде представляет собой сложную задачу. Однако для наших целей достаточно установить существование решений,, отличных от решения Эйнштейна.
Построим тензор второго порядка, называемый гамильто-новой производной от инварианта. 144
Г лава V. Общая теория относительности
Пусть в какой-либо точке четырехмерного континуума заданы четыре линейных элемента с компонентами CllXa1 d^x*, d-^x*, d,^xa. Объем, построенный на этих элементах, равен
dV = ea ^d^d^d^d^x6. (5,6,2)
Эта величина не зависит от выбора системы координат. С формальной точки зрения, инвариантность объема обусловлена тем, что выражение (5,6,2) представляет собой результат полного свертывания произведения ко- и контравариантных тензоров.
Совокупность коэффициентов Ea?yo образует тензор Леви-Ч и в и т а, антисимметричный относительно всех пар индексов. Основная компонента этого тензора Єіод равна квадратному корню ИЗ абсолютной величины определителя g= I gti |. Компоненты ea?yo равны ± У —g, если группа индексов a?yS отличается от 1234 четным или нечетным числом перестановок соответственно, или нулю, если среди этих индексов имеются равные.
Для простоты допустим, что каждый из четырех элементов, образующих рассматриваемый объем, направлен по координатной линии, т. е.
^1JCa = dx1, 0, 0, 0; ... d4Jt* = 0, 0, 0, d**.
Формула (5,6,2) примет следующий вид:
dV = 81234^1 ... dx* = V--S dx,
где через dx обозначено произведение четырех дифференциалов координат.
Пусть далее / — инвариант, построенный при помощи компонент метрического тензора и их производных
,, . - dgil rr d2gU
gib ft/« - -^5-. SiM = dx*dxfi • • • •
Составим интеграл j7 V—g dx, взятый по какой-либо определенной области континуума. Величина интеграла является инвариантом.
