Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
При обобщении принципа эквивалентности в теории относительности необходимо воспользоваться понятием четырехмерного ускорения, принятым в СТО.
* Такое поле называют иногда имитированным, так как его можно возбудить («имитировать») путем перехода от инерциальной системы координат к (системе, движущейся с ускорением. 124
Г лава V. Общая теория относительности
В механике Ньютона ускорение w в декартовых координатах находится по формуле
2 I (Рх\2 . ( (Py 2 I (Pz 2
w +[-J-) +ЬИ *
которая дает одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета, связанных преобразованием Галилея. В СТО инерциаль-ные системы отсчета связаны преобразованием Лоренца
V
t—
X' = * ; у' = у\ Zt = г; Ґ =- ,JL- ; ?= —, (5,1,1)
У I _?2 У ' у I_?2 ' Г Cxtff
по отношению к которому ньютоново определение ускорения, как легко убедиться, не является инвариантным.
Требованиям СТО отвечает четырехмерный вектор ускорения с компонентами
tPx (Py (Pz (Pt ds2 ' ^saWsa' ds2 '
где s — собственное время частицы, т. е. длина дуги мировой линии частицы в континууме Минковского. Элемент собственного времени в галилеевых координатах определяется квадратической формой
ds2 = —dx2 — dy2 — dz2 + c2dt\ (5,1,2)
которой отвечает метрический тензор
_ 1 , І = / = 1,2, 3; ёи = с2, і = / = 4; (5,1,3)
О, ІФІ.
Величина четырехмерного ускорения находится по формуле
+ -Ш+Ы--(?;-(#_(?)¦ + ,.(¦?.)*. (5,1.4)
инвариантной относительно преобразования Лоренца. Действительно, если в соотношение
,2 / (Pxf \2 I (Pyf \2 I d*z' \2 . 2 і d4' 2
» -Urj -ЫН +cMtfI-
определяющее ускорение частицы в системе у\ г', t\ внести равенства
(Px (Pt (Px' сPy' _ (Py
ds2 ~ у і _ ?2 • — ds2 ;
сPt V d2 X
(Pz' _ (Pz (Ptf _
ds2 ~~ 'W ' ~~d<?~ ~~ у і _?2 /. Принцип эквивалентности
125
непосредственно вытекающие из (5,1,1), то после необходимых упрощений получится величина, совпадающая с (5,1,4). Это значит, что во всех системах координат, переход между которыми осуществляется с помощью преобразований Лоренца, движущаяся частица имеет одно и то же четырехмерное ускорение *.
Как и в случае механики Ньютона, предположим вначале, что поле гравитации является кинематическим; оно существует в координатах Xa1 но отсутствует в системах отсчета ха\ отвечающих СТО и связанных между собой преобразованием Лоренца. Свободная частица, движущаяся в системе ха под действием кинематического поля, в системе ха перемещается, как вне поля; мы принимаем, что, в соответствии с принципом эквивалентности, четырехмерным законом ее движения являются равенства
O2Xf _ (Pyf __ d?z' _ _ п ds2 ds2 ds3 ~~ ds2 '
Найдем закон движения этой частицы в произвольной системе отсчета ха.
Пусть в общих координатах квадратическая форма имеет вид
ds1 = gafidxadx*t (5,1,5)
где gat—метрический тензор, который при переходе к одной из системі' принимает значения (5,1,3).
Первые производные от координат по собственному времени {т. е. по длине дуги мировой линии частицы) составляют контрава-риантный вектор, преобразующийся по известной формуле
dx= дхґ dxa ds дх<* ds *
Дифференцируя это равенство, имеем
CPxi' = dxa dx? дзУ (РXа
ds2 ~ dxadx? as ds + dxa ds* '
Внесем сюда соотношение
dV' = дх1' va дха' дх?' w-d*»djfi дх° tt? дха дх** a'?''
непосредственно вытекающее из общей формулы (4,5,7) после
* Равенства ш' = w получено с помощью преобразования (5,1,1), связывающего системы координат с общим направлением осей Xt х\ совпадающим с направлением их относительного движения. Однако это равенство сохраняется и в том
случае, если оси х, х' образуют любые углы с направлением движения одной системы по отношению к другой. 126
Г лава V. Общая теория относительности
соответствующей переделки индексов. При подстановке необходимо принять во внимание, что в галилеевой системе символы Кристофеля Га<0' имеют нулевые значения.
Полученное таким образом соотношение
_ dx? IiPxa го dx« dx* \ ds2 "" дха \ 0^ dS ds I
выполняется при произвольном преобразовании координат. Поэтому (Pxi'
из условия ^8 =Oc необходимостью следует
ІPxa , pa dxa n ,C1 ax
+ —аг = 0- Г5Л'6>
В произвольных координатах мировой линией свободной частицы, движущейся в кинематическом поле гравитации, служит геодезическая линия пространственно-временного континуума. Этот важный вывод, являющийся непосредственным следствием обобщенного принципа эквивалентности, лежит в основе релятивистского представления о гравитации. Левая часть (5,1,6) содержит четыре компоненты контравариантного вектора четырехмерного ускорения частицы. Найденный закон показывает, что в пространственно-временном континууме частица движется с нулевым ускорением; тем самым ньютоново понятие силы тяготения, действующей на частицу со стороны поля и вызывающей ее ускорение, отвергается. С точки зрения ОТО движение свободной частицы в гравитационном поле является инерциальным и его особенности обусловлены не приложенной к частице силой, а метрикой пространства-времени.
