Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотренные в этой главе теоремы и формулы геометрии Римана не зависят от сигнатуры квадратической формы; в частности, они выполняются и в псевдоримановой геометрии ОТО.
Необходимо только помнить, что определитель g = \g(f\9 имеющий в обычной римановой геометрии положительное значение, при сигнатуре (—, —, —, +) становится отрицательным, вследствие чего отдельные формулы нуждаются в соответствующей переделке. Например, в уравнении (4,9,3) определитель g необходимо заменить величиной —g.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Riemann. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854, Gott. Abhandlungen, v. 13, 133. РуСск. пер.: Б. Риман. Сочинения. ОГИЗ, М.— 1948.
2. G. Ricci, Т. Levi-Civit a.— Annal. Mathem., 54, 1901.
3. L. P. Eisenhart. Riemannian Geometry. Princeton, 1927. Русск. пер.: Л. П. Эйзенхарт. Риманова геометрия. ИЛ, M., 1948.
4. Е. Cartan. Lemons sur Ia geometrie des espaces de Riemann. Paris, 1928. Русск. пер.: Э. Картан. Геометрия римановых пространств. ОНТИ, M., 1936.
5. П. К- P а ш е в с к и й. Риманова геометрия и тензорный анализ. «Наука», M., 1967. Глава V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1. Принцип эквивалентности. В предыдущих главах мы рассмотрели некоторые из многочисленных попыток уточнения и обобщения закона тяготения Ньютона.Эти попытки, основанные на анализе отдельных тонких особенностей движения небесных тел или на различных общих соображениях, не привели к существенному развитию теории Ньютона. Большое значение имело обсуждение закона тяготения с точки зрения специальной теории относительности (СТО), показавшее, что при отказе от гравитационного дальнодействия точная форма закона тяготения нуждается только в не-
V2
больших поправках порядка Этот важный вывод позволил найти
путь для преодоления главной* принципиальной трудности классической небесной механики без существенного изменения положенного в ее основу закона Ньютона и тем самым вновь подтвердил фундаментальное значение этого закона. Новая эпоха в развитии теории гравитации началась лишь с созданием общей теории относительности (ОТО). К изложению основ этой теории мы и переходим.
В исследованиях Эйнштейна ОТО разрабатывалась как расширение СТО на основе принципа общей ковариантности. Если в СТО изучаются системы отсчета, движущиеся без ускорений и связанные между собой известным преобразованием Лоренца, то ОТО включает в рассмотрение произвольные движения систем отсчета и гравитацию, объединяя, таким образом, учение о пространстве-времени с теорией гравитационного поля.
Развитие ОТО было завершено к 1916 г. Первое систематическое изложение физических основ и математического аппарата теории содержится в известной работе Эйнштейна {11, опубликованной впервые в журнале «Annalen der Physik» и многократно переиздававшейся затем на различных языках. Распространению и развитию ОТО способствовало появление специальных монографий, среди которых в первую очередь следует назвать книги Вейля [21, Паули {31, Лауэ {41, Эддингтона [51, Толмана {61. Из более поздних можно отметить работы Бергмана {71, Фока {81, Ландау и Лифшица {91, Петрова [101 н Синга {111.
Физической предпосылкой ОТО, составляющей ее главный эмпирический фундамент, является принцип эквивалент- /. Принцип эквивалентности
123
н о с т и, который мы предварительно рассмотрели в главе III. Этот принцип выражает наиболее общую и характерную особенность тяготения, отличающую его от полей другой природы.
Исходным моментом принципа эквивалентности является независимость ускорения тела от его массы в заданном гравитационном поле. Обсуждая эту закономерность, известную в механике со времени Ньютона, Эйнштейн пришел к заключению об относительности ускорений и гравитации и высказал гипотезу об эквивалентности инерции и тяготения.
Временно ограничивая наши рассуждения рамками механики Ньютона, примем гипотезу эквивалентности Эйнштейна и включим в понятие гравитационного поля не только силовое поле, обусловленное материальными массами, но также поле сил инерции, зависящее от закона движения применяемой системы отсчета. Считая, что оба вида полей имеют одинаковую физическую природу, будем в то же время учитывать различие их строения. Поле первого вида условно назовем, как это часто делают, истинным; оно не зависит от выбора системы отсчета. Поле сил инерции (например, однородное поле тяжести, поле центробежных сил и др.) будем называть кинематическим, или инерционным. Оно обладает тем свойством, что при соответствующем выборе системы отсчета напряженность во всех его точках может быть приведена к нулю *. В общем случае поле гравитации представляет собой результат сложения полей обоих указанных видов.
В случае кинематического поля гравитации можно построить систему координат, по отношению к которой свободная частица движется, как в отсутствие поля. Для поля произвольного строения это утверждение неправильно,поскольку не существует системы отсчета, позволяющей привести к нулю напряженность поля во всех точках. В общем случае указанное утверждение выполняется в бесконечно малом. В самом деле, в достаточно малой окрестности любой точки поле произвольного строения можно рассматривать как однородное, а следовательно, и как кинематическое. Поэтому для каждой бесконечно малой области поля гравитации можно построить систему отсчета, по отношению к которой движение свободной частицы в этой области происходит, как вне поля. В этом и заключается принцип эквивалентности в механике Ньютона. Как видим, в общем случае он имеет локальный характер и относится не к полю в целом, а к его достаточно малым пространственно-временным областям.
