Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Составим теперь дифференциальное уравнение для метрического тензора gif. Изменение его вдоль линии определяется производной
JiiL = dSii d^ dt dufi dt •
Внеся сюда равенство
dSii pa , _ rvz
дхЬ = ffa/1 + /0»
которое непосредственно следует из (4,3,3), находим уравнение
dgii га du* ^ . pa du*
определяющее компоненты метрического тензора вдоль линии вместе с начальным условием gu = gu (Z0) при t = I0.
Так как уравнения для (е*.е/) и gti одинаковы, а в начальный момент эти величины по условию совпадают, то вообще должно быть е" е/ = &/• Отсюда непосредственно следует, что во всех точках линии выполняется соотношение gu =
Для упрощения последующих выкладок положим, что уравнения кривой имеют вид и1 = и1 = а1 = const при і = 2,... п, т. е. что 102
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
кривая является одной из координатных линий. Это упрощение не нарушает общности, так как оно может быть осуществлено путем соответствующего преобразования координат. Вместо (4,5,10) имеем
T = e^ T-r^ («-ID
Система координате пространстве Эвклида остается еще неопределенной, поскольку для ее задания необходимо определить координатные векторы во всех точках пространства, тогда как мы определили их лишь для точек кривой.
Пусть г — радиус-вектор точки M пространства. Производные от радиуса-вектора по координатам равны координатным векторам е, в соответствующих точках, а скалярные произведения (е0 е/) —
„ д*г
компонентам метрического тензора qu. Производные ^ / можно
представить в виде линейных комбинаций координатных векторов, причем коэффициентами в таком разложении служат символы Кристофеля (см. п. 3). Итак,
dr сРг тла
"ЙГ-* 1ІЇГ'(4,5,12)
Координаты Xі в пространстве Эвклида определяются выбором функции г (л:1, ...jc"), довольно свободным, так как до сих пор он был ограничен только требованием, чтобы при переходе к точкам кривой векторы е, превращались в заданные векторы е^.
Точка M' линии имеет координаты х1 = и1 = /, х' = a(і Ф 1). Радиус-вектор г' этой точки свяжем с радиусом-вектором г точки M пространства соотношением
г = г' + е; (Xbi -a») + -L Г?теа (*" _ а°) (хх - а\ (4,5,13)
где со, т — индексы суммирования, принимающие значения 2, 3,... п, Пот — символы Кристофеля римановой метрики в точке а1, а' (і Ф 1).
Дифференцируя это равенство по координатам и положив = = а', получим
(і?)*.-**
убедившись в том, что выбор системы координат при помощи (4,5,13) отвечает упомянутому требованию.
Вычислим далее производные второго порядка. Переходя затем от точки M к ЛГ, найдем
(^"MwL-M-KrL-1*' 6. Ковариантное дифференцирование
103
Следовательно, вообще
{~?Ь~)м> ~ 1^ea
при всех значениях индексов і, /, от 1 до п. Сравнивая это равенство с соотношением
Vampf**
которое непосредственно вытекает из общей формулы (4,5,12) при M Л4', приходим к заключению, что в каждой точке рассматриваемой линии символы Кристофеля римановой и эвклидовой метрик одинаковы. Поэтому найденное условие g(j = qif и соотношение (4,3,3), которое можно написать в виде
показывают, что одинаковыми оказываются и производные от компонент метрического тензора по координатам.
Итак, существует возможность так выбрать координаты в пространстве Эвклида, чтобы все git и их первые производные по координатам в римановой и эвклидовой метриках имели во всех точках данной линии одинаковые значения. В этом случае эвклидова метрика соприкасается вдоль заданной кривой с метрикой Римана. В бесконечно тонкой трубке, содержащей эту кривую, эвклидово пространство представляет пространство Римана с точностью до членов второго порядка.
6. Ковариантное дифференцирование. Обычное дифференцирование непригодно для развития тензорного анализа, так как применение этой операции к какому-либо тензору нарушает em тензорную природу. Например, если совокупность величин у1 образует
dt/
контравариантныи вектор, то производные не являются компо-
дх'
нентами тензора, поскольку при переходе к новой системе координат они преобразуются по закону
который отличается от закона преобразования тензора (4,2,1),
В тензорном анализе употребляют операцию ковариант-но го дифференцирования, которая представляет собой некоторое обобщение обычного дифференцирования, обладающего тем свойством, что применение к тензору не нарушает его тензорной природы.
dxk
dt/' _ дх1' дхP дуа Pxr
CL
У. 104
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
Пусть дано поле контравариантного вектора у1. В точках M (xQ} и ЛГ (х° + dx°) компоненты этого вектора соответственно равны у1 и у1 + dyНеобходимо ясно представить, что сумма у1 + + dy1 составляет в точке ЛГ вектор, тогда как отдельные члены ее (т. е. у1 и dy0 не являются в этой точке векторами.
Действительно, дифференцируя формулу преобразования у1' =
д**' sr
= ^a, получаем соотношение
. Г д*х1' OLj ? , дх?' . a
dy -w^+l?^'
которое не совпадает с законом Преобразования тензора в точке ЛГ.
Правила тензорной алгебры нельзя применить к векторам у1 и и у1 + dyпоскольку последние заданы в точках с различными координатными векторами. Для устранения этого различия выполним параллельный перенос вектора у1 + dy1 из точки M' в точку М. Компоненты вектора приобретут при таком переносе приращения,, соответствующие приращению координат — dxa; согласно формуле (4,3,6), приращения компонент составят Т^&ЧІхР. Поэтому в результате переноса вектора у1 + dy1 в точку M его компоненты будут у* + dtf+ V^djfi.
