Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что некоторый контравариантный вектор задан в точке M (Xq) своими компонентами у10. Проведем через эту точку непрерывную линию, заданную уравнениями Xе = Xі (т), где т— параметр, принимающий для точки M значение т0. Требуется параллельно перенести вектор вдоль данной линии.
Соотношение (4,3,6) определяет приращение компонент вектора при его параллельном переносе между двумя бесконечно близкими точками кривой. Разделив это соотношение на приращение параметра dx, отвечающее переходу между указанными точками, получим
+ 1^^-0. (4,3,9)
Входящие сюда символы Кристофеля известным образом выражаются через составляющие метрического тензора и их производные 94
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
по координатам. Для данной линии эти символы являются определенными функциями параметра т, зависящими от уравнений линии.
dx^
Теми ,же уравнениями определяются производные .
Равенства (4,3,9) составляют систему линейных однородных уравнений первого порядка относительно величин tf. Поскольку при T = = т0 величины if принимают заданные значения у'0$ эта система имеет единственное решение, однозначно определяющее параллельный перенос вдоль линии.
Предположим, что, найдя решение системы (4,3,9), мы определили затем значения компонент вектора в какой-либо определенной точке M1 данной линии. Соединив точки M и M1 другой линией, мы могли бы осуществить параллельный перенос вектора в точку M1 по новому пути. Однако в случае геометрии Эвклида, которой мы до сих пор придерживаемся, значения компонент остались бы прежними: результат параллельного переноса данного вектора в эвклидовом пространстве определяется начальной и конечной точками и не зависит от выбранного пути.
4. Геометрия Римана. Эвклидово пространство п измерений представляет собой множество точек, каждая из которых находится в однозначном соответствии с п числами-координатами. Расстояние ds между двумя точками пространства с координатами Xі и X1 + dx1 определяется инвариантной квадратической формой
коэффициентами которой служат ковариантные компоненты метрического тензора. Задание последнего определяет метрические свойства пространства, поскольку этот тензор позволяет найти длины линий и углы между ними.
Длина отрезка линии, заданной в пространстве уравнениями X1 = Xі (т), вычисляется по формуле
Угол 0 между двумя линейными элементами ds = ^dxa и 6s = = e?oxP можно найти, образовав скалярное произведение ds, 6s = = (еа, e?)djcaoxP. Положив ds, 6s = dsos cos 9 и воспользовавшись определением компонент метрического тензора, получим
ds2 = ga$dxadx^1
(4,4,1)
(4,4,2)
cos 0 =
gg?<**«6JC**
dsos
(4.4,3)
В пространстве Эвклида можно построить систему прямолинейных декартовых координат. В этой системе координатные векторы во всех точках пространства имеют одинаковые значения, вслед- 5. Соприкасающееся пространство Эвклида
'95
СТВИЄ чего компоненты метрического тензора ft/ = (е0 Є/) будут постоянными числами. Можно утверждать, что континуум, отвечающий квадрати ческой форме (4,4,1), будет эвклидовым простран*-ством в том и только в том случае, если существует преобразование координат, приводящее компоненты метрического тензора к постоянным.
Легко видеть, что это условие выполняется лишь при специальном задании величин ft/. Как мы знаем, число различных компонент
метрического тензора может быть равно у п (п + 1); при п > 2 оно
превосходит число измерений. Например, при п = 4 число различных ft/ достигает десяти. Поэтому совершенно очевидно, что при помощи преобразований координат в общем случае невозможно привести все произвольно заданные функции ft/ к постоянным. Таким образом, континуум, соответствующий квадратической форме (4,4,1), вообще не является пространством Эвклида. Однако этот континуум и в общем случае рассматривают как пространство п измерений, хотя его метрические свойства могут существенно отличаться от геометрии Эвклида. Такое пространство принято называть римановым.
С формальной точки зрения пространство Римана можно определить как поле метрического тензора в /г-мерном континууме, в котором расстояние между бесконечно близкими точками находится с помощью квадратической формы (4,4,1), а угол между двумя линейными элементами — по (4,4,3). Геометрия Римана охватывает широкий класс пространств и включает эвклидову геометрию в качестве простейшего частного случая.
5. Соприкасающееся пространство Эвклида. Введенные выше определения тензора и тензорных действий, а также операции параллельного переноса непосредственно относятся к пространству Эвклида. Вопрос о пригодности этих определений для римановой геометрии нуждается в специальном исследовании. Наиболее простой и естественный путь такого исследования состоит в сравнении риманова пространства с пространством Эвклида.
Пусть n-мерное пространство Римана характеризуется метрическим тензором ft/. Рассмотрим точку M (xk) и ее бесконечно малую окрестность. В точке Mt (xk + dxk), принадлежащей этой окрестности, метрический тензор имеет компоненты gij (xk + dxk). Производя разложение, можно записать
