Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
где h — постоянная интегрирования.
Это уравнение выражает связь между собственным временем частицы и относительным временем системы отсчета. Постоянная h зависит от центрального тела и от орбиты частицы. Найдем значение
этой постоянной с точностью до величин порядка -i. С этой целью
воспользуемся линейным элементом (3,6,1) в виде
ф
dx и» *
(3,6,7)
2ф
Внося (3,6,7) и положив е
-f-, получим б. Теория Нордстрема
75
Для вычисления правой части применима известная формула ньютоновой задачи двух тел
уМ
где а — большая полуось кеплеровой орбиты. В принятом приближении получим
л2 = 1+-йг- <3'6'8>
Система уравнений движения (3,6,6) принимает теперь следующий вид:
\ *Р
/ дг '
Сравнивая (3,6,9) с законом движения механики Ньютона, видим, что, кроме обычной центральной силы притяжения, на частицу действует возмущающее ускорение
(Рх dtp +( ' уМ 2Ф
dt2 ~~ ~дГ C2
d*y dtp ' у M 2ф
df* - ду k с2а C2
d2z IF дц> дг +і ( уМ , C2Q 2Ф C2
R =
(VА*)2 __
с*г3 [г а ) 9
направленное вдоль радиуса-вектора.
Проекция этого ускорения на положительное направление ра-диуса-вектора равна
R-iS1 (-7—г)-
Поскольку г < 2а, величина R положительна и свидетельствует о том, что возмущающее ускорение является отталкивательным и состоит из членов, изменяющихся обратно пропорционально второй и третьей степени расстояния от центрального тела.
Выясним, как влияет возмущающее ускорение на элементы орбиты.
Третье из уравнений (1,6,3), определяющее движение линии апсид, принимает в нашем случае вид
= ~ c*aellM-e*) + е2) C0S * + 2eC0SA
Интегрируя это равенство по истинной аномалии в пределах от нуля до 2тс, получим угол поворота линии апсид за время одного 76
Г лава III. Развитие закона тяготения
обращения частицы вокруг центрального тела
В отличие от прямого движения перигелия, наблюдаемого в действительности, в теории Нордстрема орбита прецессирует в обратном направлении.
Четвертое и пятсе уравнения системы (1,6,3) в случае возмущающего ускорения (3,6,10) дают Aa = Ae = 0, показывая, что большая полуось и эксцентриситет не испытывают вековых изменений.
В заключение отметим, что в теории Нордстрема поле тяготения не влияет на распространение света. Как видим, изменение массы по закону (3,6,3) является необходимой и достаточной предпосылкой постоянства скорости света, следовательно, и условия dx = 0. Форма луча определяется уравнениями (3,6,6), которые при dx = 0 принимают вид
d?x __ <Ру __ (Pz __ п dt* ~~ dt* ~ dt* ~~
и дают
= const; = const; = const,
показывая, что световые лучи распространяются прямолинейно.
7. Теория Нордстрема (продолжение). Рассмотренная выше теория является существенным шагом в развитии учения о поле гравитации. Она обобщает закон тяготения в согласии с требованиями СТО и с учетом равенства инертной и тяжелой масс. Приложение этой теории к конкретным задачам приводит к результатам, по точности не уступающим выводам механики Ньютона. Если величине
-^r приписать первый порядок, а отношению — порядок ~, то
с точностью до членов порядка у теория Нордстрема совпадает с механикой Ньютона; различие между ними обнаруживается начиная только с членов второго порядка, т. е. в очень тонких особенностях движения. Следует, однако, иметь в виду, что надежно установленный эффект второго порядка — движение перигелия Меркурия — противоречит теории Нордстрема, которая, как мы видели, приводит к эффекту противоположного знака.
Развитая Нордстремом теория гравитации была одобрена Эйнштейном, посвятившим ей специальный параграф в упомянутом обзоре проблемы тяготения [61. В 1914 г. в совместной работе Эйнштейна и Фоккера [91 предложен новый вариант теории Нордстрема, развитый с применением общего тензорного анализа. 7. Теория Нордстрема (продолжение)
77
Обобщая понятие мира Минковского, отвечающего СТО, Эйнштейн пользуется четырехмерным пространственно-временным континуумом с общими координатами. Инвариантный интервал в нем можно задать линейным элементом
dS2 = gndxldx\ (3,7,1)
в котором через Xa1 о = 1, 2, 3, 4, обозначены пространственные и временная координаты, а коэффициентами служат компоненты g.. основного метрического тензора. Одинаковые верхний и нижний значки служат индексами суммирования; знак суммирования опущен, как это принято в формулах тензорного анализа. Метрический тензор симметричен (g.. = gfl), вследствие чего в общем случае он имеет всего десять различных компонент.
Движение материальной частицы изображается в пространст-венно-временном континууме «мировой точкой», перемещающейся по «мировой линии». В соответствии с принципом эквивалентности принимается, что мировой линией частицы, движущейся в поле гравитации в отсутствие сил другой природы, является геодезическая линия пространственно-временного континуума. Закон движения в гравитационном поле имеет, таким образом, вид
б ( ds - 0. (3,7,2)
Пользуясь обычными методами вариационного исчисления, нетрудно представить этот закон в форме системы четырех дифференциальных уравнений. В общем виде эти уравнения мы приводить здесь не будем; ограничимся частным случаем, когда поле гравитации является статическим и употребляются ортогональные координаты, для которых отличны от нуля лишь диагональные компоненты метрического тензора.
