Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
"у = —-9- -2g- (X* + У*)+ .. (9,12.4)
Найдем первые интегралы этой системы.
Умножая уравнения (9,12,4) на X9 у и сложив их, получим
XX + УУ = — jTT- (1 + X2 + у2), откуда непосредственно следует
2т
х*+&> = Ае~-1. (9'12'5)
где А — постоянная интегрирования.
Если те же уравнения умножить соответственно на — у9 X9 то после сложения получится соотношение
ху — ух = -^-(ху — ух), из которого следует обобщенный интеграл площадей
т
ху — ух = Ве~ r , (9,12,6)
где В — новая постоянная.
Перейдем к полярным координатам. Комбинируя первые интегралы (9,12,5) и (9,12,6) и вводя переменную и = -jr, нетрудно -342
Г лава IX. Развитие теории гравитации
составить дифференциальное уравнение орбиты
^J + и* = аг4™ __ Ье*»% (9,12,7)
где для краткости принято a = ABT29 Ь = ВТ2.
Постоянные а, Ь легко выразить через параметры кеплеровой орбиты.
Сохраняя члены первого порядка относительно лш, представим уравнение (9,12,7) следующим образом:
+ ^2 = « — & + 2m (2а - 6) а.
Оно совпадает с уравнением орбиты механики Ньютона
/ du2 \2 , 2 Ca-I , 2
при следующем выборе постоянных:
р + т( 1-е2) . Pk __ р + 2т (1 — е2) тр2 ' U~ тр2
Для вывода релятивистского эффекта необходимо сохранить в правой части (9,12,7) члены второго порядка относительно переменной а. Выполнив соответствующее разложение, получим
В принятом приближении это уравнение имеет решение 1.6 т t І і 3 т \
и = -у + -рї~ + Tcos Іф—гф)
и при е < 1 представляет собой эллипс с фокальным параметром р—6т, эксцентриситетом е{\--и переменной долготой
перигелия, возрастающей пропорционально полярному углу. В течение одного обращения линия апсид орбиты поворачивается в прямом направлении на угол J^EL. Таким образом, в ограниченной
задаче двух тел теория Биркгофа приводит к эффекту, совпадающему с известным выводом ОТО, и в данном приближении не содержит других вековых эффектов.
Следует, однако, заметить, что результаты обеих теорий совпадают только в ограниченной задаче, когда масса движущейся частицы пренебрежима по сравнению с массой центрального тела. В общей задаче двух тел такого совпадения нет. 12. Задачи Кеплера в теории Биркгофа
343
Формула теории Биркгофа в этом случае такова:
2л (3т\ + 7тгт2 + З/тф 0 ~ Cml + m2) р •
тогда как ОТО приводит к величине
д 6л Cm1 + т2) P
В случае одинаковых масс эти величины относятся как 13 : 12.
К сожалению, в настоящее время невозможно установить, какое из этих определений лучше отвечает действительности, поскольку наблюдения не позволяют обнаружить столь тонких эффектов в движении двойных звезд.
13. Оптические эффекты в теории Биркгофа. Распространение света в поле тяготения определяется в рассматриваемой теории законом движения (9,12,2) и условием ds = 0, отвечающим требованию СТО. Имея в виду случай центральносимметричного поля, воспользуемся уравнениями движения в форме (9,12,4), поскольку световой луч в таком поле является плоской кривой. Преобразуем эти уравнения, рассматривая пространственные координаты как функции временной переменной t.
С помощью соотношений
— 2HL / \
Y-Cpr- • Y - Г*Р r Id2x гп dr dx \
X-^e dt'x-^e \4F~ Г* dt dt у
которые непосредственно вытекают из (9,12,3), приведем первое из уравнений движения к следующему виду:
2т
dlx _ тх
HF " W
г-2 2тх [ / dx \2 / dy \2] . 2т dr dx
L е ~F~[vJr) + [ЧГ) \ +
Для перехода к пределу при ds-*0 достаточно положить C-* оо и j^-j + j 1. Следовательно, распространение света в центральном поле определяется уравнениями
d? X___2тх 2т dr dx
HF ~~ + ~ ~~ІЇГ ИГ; л л
(9,13,1)
d?y__2ту 2т dr dy
dt2 л3 ^ г* dt dt '
Первыми интегралами этой системы служат равенства
(-$-)44-)'-'-.
2т -344
Г лава IX. Развитие теории гравитации
позволяющие составить дифференциальное уравнение луча. В полярных координатах это уравнение имеет вид
(-^-J2 + и> = А-2е4ти, (9,13,2)
представляя в первом приближении коническое сечение.
Обозначив через р ив фокальный параметр и эксцентриситет конического сечения, легко найдем
A2 = 2тр; = (9,13,3)
убедившись в том, что луч имеет форму гиперболы с весьма большой эксцентричностью. Расстояние от центра поля до ближайшей точки
луча составляет = А.
Искривление луча определяется углом между асимптотами ги-
2 Am
перболы, равным —. С помощью (9,13,3) находим 0 = —j-, что
в А
совпадает с известной формулой ОТО.
Остается составить формулу, определяющую гравитационное смещение спектральных линий.
Пусть источник излучения находится в точке с потенциалом <р, а наблюдатель расположен вне поля. Согласно общему уравнению (9,12,3), частоты излучения в соответствующих точках поля удовлетворяют соотношениям: ~ ~ Сеф; ^C. Следовательно, = = Переходя к единицам CCS, в первом приближении получим
v = vofl--J-), (9,13,4)
что также совпадает с соответствующим эффектом ОТО.
Итак, все три доступные непосредственному наблюдению релятивистских эффекта, составляющие до сих пор единственное средство прямой проверки ОТО, получают простое объяснение и в линейной теории гравитации Биркгофа. В этом отношении обе теории равноценны, хотя по физическому содержанию они глубоко различны.
