Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
4. Космологические модели Эйнштейна и де Ситтера. Космологический парадокс классической теории тяготения можно устранить путем введения поправки в закон обратных квадратов Ньютона. Подобным же образом ОТО можно примирить с концепцией однородной статической Вселенной с помощью соответствующей переделки уравнений поля Эйнштейна.
Как упоминалось в главе V, такую переделку предложил Эйнштейн в 1917 г. [5]. Уравнения поля, дополненные «космологическим членом», имеют вид
Ru = — 8я (Тц--lT ЄіІт) + Agilt (8,4,1)
где А — достаточно малая постоянная, значение которой должно быть определено путем сравнения космологической модели с данными астрономических наблюдений.
Как и прежде, пространственно-временной интервал принимается в форме (8,3,1), а тензор энергии-импульса — согласно соотношениям (8,3,4).
Воспользовавшись выражением для компонент тензора Риччи (8,3,3), легко представить уравнения поля (8,4,1) в развернутой форме; они приводятся к трем дифференциальным уравнениям
jT~^f +- - - 4яеа(р-р) -Aea-
Jr + -^Г- --— W <р -Р)~ АЛ —1T + Ч- --T-г-—4l^a <р + ¦W + Ле" (8'4-2) 4. Космологические модели Эйнштейна и де Cummepa
297
которые отличаются от системы (8,3,5) только членами с космологической постоянной.
Повторим вычисления, выполненные в 3. Легко убедиться в том, что соотношение (8,3,6) и выражение для второй производной функции ? сохраняют прежнюю форму. Поэтому, комбинируя первое и второе уравнения (8,4,2) и производя соответствующие подстановки, найдем, что и в данном случае условие совместимости трех уравнений (8,4,2) имеет вид (8,3,7).
Пусть ?' = 0 при р и р, отличных от нуля. Последнее уравнение рассматриваемой системы определяет связь между космологической постоянной, давлением и плотностью вещества.
А = 4я(р + 3 р). (8,4,3) Два первых уравнения имеют решение
^Tct= 1 —4я г2(р + р). Если ввести обозначение*
R-2 = Л - Sтср = 4л (р + р)9 (8,4,4) то решение примет вид
Положив ? =0**, получим полное решение уравнений поля,
определяющее космологическую модель Эйнштейна [51 и соответствующее линейному элементу
ds2 = — (1 - -gj-)"' dr2 — r2dQ2 - г2 Sin2 Qdy2 + dtа. (8,4,5)
При ?' Ф 0, р = р =0 система уравнений (8,4,2) имеет решение
еа = {1-e?= I--^J-; /?2 = ЗЛ-\
которому отвечает космологическая модель де Ситтера [61 с линейным элементом
ds2 = — ^l- dr2 - r2dQ2 — г2sin2 Qdy2 + (1 — dt2.
(8,4,6)
* В соответствии с традицией, здесь и в дальнейшем через R обозначен радиус кривизны пространства. Во избежание недоразумений следует помнить, что обозначение тензора Риччи оставлено прежним.
** Численное значение постоянной ? можно выбрать произвольно, поскольку оно определяется масштабом временной координаты. 298
Г лава VIII. Космология
Случай ?' = 0, р = р=0 не представляет космологического интереса, поскольку при этом получается Л =0, а, ? = const, что соответствует континууму Минковского СТО.
Итак, дополнение уравнений поля Эйнштейна космологическим членом позволяет согласовать ОТО с представлением об однородной статической Вселенной. Из возникающих при этом двух космологических моделей, с общей точки зрения, следует отдать предпочтение первой, так как модель де Ситтера основана на принципиально неприемлемом допущении об отсутствии космических масс с объемной плотностью.
В модели Эйнштейна пространство имеет форму трехмерной сферы радиуса R1 тогда как четырехмерный пространственно-временной континуум представляет собой цилиндр с неискривленной осью времени. Объем пространства конечен и равен
2 nnR _ І-
V = 2 J J J (1 — г2 sin MydMr = 2л2я3. (8,4,7)
ООО
Если положить р = 0, то объем и радиус кривизны пространства определяется величиной космологической постоянной
__1_
V = 2я2А~2; R = A 2, (8,4,8)
которая, в свою очередь, зависит от плотности вещества
А = 4яр. (8,4,9)
Полная масса
_ Jl
M = -^- лА 2. (8,4,10)
Таким образом, для определения количественных характеристик модели Эйнштейна необходимо знать плотность вещества в однородной Вселенной. Эту величину отождествляют со средней плотностью в наблюдаемой части Метагалактики, которая, по современным оценкам, составляет IO""31 г/см~3. Воспользовавшись этим значением, легко найти характеристики модели в обычных единицах
А = 9 - IO"59 слГ2; R = IO29 см\ M = 2 . IO57 г = IO24M0.
Отметим еще интересную особенность общего поля тяготения модели Эйнштейна.
Пусть какое-либо тело в данный момент времени покоится относительно окружающих космических масс. Согласно уравнениям геодезической линии,
d*x° , /га р4 dx° \ dxa dx? Пт 1 9 о
-ДГ- + 1/a? — la? ~dTj~dt--ЗГ=°' а== 1'2'6' 4. Космологические модели Эйнштейна и де Cummepa
299
ускорение тела в этот момент имеет составляющие
— г°
— - 1 4
(Рх° го
dt2 ~~ 44'
Символы Кристофеля в случае статической метрики (8,4,5) приводятся к величинам — g°° и исчезают. Следовательно,
d?xa
-^r- =0. Это показывает, что общее гравитационное поле
модели не может привести покоящееся тело в движение.
