Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Первому из них соответствует класс монотонно расширяющихся нестатических моделей, которые при t оо асимптотически приближаются к модели Де Ситтера бесконечно большого радиуса.
Случай Л = Ae допускает два класса решений асимптотического типа. Если для какого-либо момента модель характеризуется радиусом R < REt то в дальнейшем она непрерывно расширяется, асимптотически приближаясь к статической модели Эйнштейна.
Если же в какой-либо момент радиус превосходит величину Re. то мы имеем расширяющуюся модель, начальное состояние которой при t — оо совпадало со статической моделью Эйнштейна, которая при t + оо приближается к модели Де Ситтера беско^, нечного радиуса. К этому классу относится, в частности, модель^. Леметра, рассмотренная в § 4. л
Пусть О < Л < Ae. Уравнение F=A имеет, по крайне^ мере, два решения Rlt R2, определяющих два интервала значений^ которые отвечают вещественным решениям дифференциального уравнения (V, 5,15): от нуля до R1 < Re и от R2 > Re до оо. Если после главного максимума при R = Re функция F имеет еще минимум, а следовательно также вторичный максимум, то условие F=A может дать три интервала значений радиуса: О, R1, R2i /?3о «
180
о F г, оо/ Здесь возможны решения трех классов. К первому из них Р^ОСИТСЯ монотонное решение В промежутке R2l OO ИЛИ /?4, OO; с соответствует расширяющейся модели, которая при t -> оо с,,Щемится к модели Де Ситтера с бесконечным радиусом. Второе решение содержится в интервале О, R1 и дает осциллирующую модель, которая последовательно переходит от расширения к сжатию , г >братно. Другая осциллирующая модель соответствует перио-- вескому решению в промежутке R2l R3; эта модель пульсирует, ширяясь от R2 до R3 и сжимаясь от R3 до R2. Если, наконец, ^ 0, то значения радиуса R образуют интервал от нуля до некоторого R1 < Re, й мы имеем осциллирующую модель первого указанных выше типов.
Перечисленные случаи исчерпывают возможные классы нестатических моделей замкнутого типа. Нам остается теперь указать зласры незамкнутых моделей, для которых R0 имеет мнимое или *@нечное значение.
^ерепишем уравнение (V, 5,10) в двух следующих формах
I = -I (Я+Р), -f-/*K (V, 5,19)
. озволяющих судить об изменении плотности в зависимости от g. Согласно первому из этих Соотношений, плотность является убывающей функцией величины g. Второе равенство (V, 5,19) свидетельствует о том, что при возрастании функции g плотность убы-
з
--S
вает быстрее, чем е 2 . Представим далее второе уравнение (V, 5,9) в виде
J-1 = ± у (А - П, (V, 5,20)
положив
F = — 8яд — 3CtoTt9 (V, 5,21)
гДе через а2 обозначена величина —R-2.
Принимая во внимание указанный выше ход плотности с вели-иной g, нетрудно убедиться в том, что при g О функция F пре-ращается в отрицательную бесконечность, а при g оо стремится нулю. При этом во всем интервале ход функции F остается моно-JHHHM, так как ее производная, выражаясь согласно (V, 5,19) эрмулой
~ = 12я (q -J- р) + За?е~89
,ложительна.
735
181 Вследствие столь простого хода функции F, нестатические мс дели открытого типа исчерпываются двумя решениями в зависимости от Л > 0 или Л < 0. В первом случае уравнение (V, 5,20) определяет расширяющиеся гиперболическую (при Л > 0) или эвклидову (приЛ=0) модели. Если Л< 0, то значения функции g заключены в интервале от нуля до gx$ где — решение уравнения F=A. В этом случае имеет место осциллирующее решение, которое определяет пульсирующую модель, испытывающую попеременно сжатие и расширение от нуля до gv
Не входя в более подробное изучение решений различных классов, рассмотрим в заключение некоторые свойства обобщенной нестат ическо й модел и.
Геометрия пространственно-временного континуума нестатической модели определяется линейным элементом (V, 5,3), в котором коэффициенты Yи' зависят лишь от пространственных координат X0i a R— функция одной временной координаты t. При dt = 0 (V, 5,3) дает пространственный элемент
dl2 = R2Vijdxi dxi,
определяющий расстояние между точками с координатами х1\ Xі 4-+dx1. При заданных Xit dx1 величина этого элемента изменяется со временем вместе с R.
Пусть какая-либо пространственная кривая задана параметрическими уравнениями Xі = Xi(O). Элемент дуги этой кривой равен
dl ^ R]/УU^-ido, (V.5.22)
а длина кривой между точками, соответствующими значениям параметра Ov O2t находится по формуле
at
Эта длина также является функцией времени, возрастая в расширяющейся и уменьшаясь в сжимающейся модели. Изменение ее в единицу времени определяется согласно (V, 5 , 23) равенством
^f =f In (V, 5,24)
и является линейной функцией длины. В нестатической модели все линейные размеры изменяются со временем, но отношения между ними остаются постоянными.
Предположим, что в нестатической модели происходит какой-либо пространственно локализованный процесс, например ход часов, покоющихся в избранной v :ме координат. Элемент dtQ
182 собственного времени, измеренный связанным с этими часами наблюдателем, находится при помощи квадратичной формы (V, 5,3), если положить dx1 = 0. Вследствие dt0 = ds получаем dt0 = dt, откуда следует, что координатное время совпадает с собственным временем любого наблюдателя, покоящегося в данной системе пространственных' координат.
