Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь уравнениями поля, линейный элемент при сделанных предположениях можно привести к форме
ClfЮ (1 + —)~2 {dr2 + r2d@2 Г2 sin2 0dcp2) + dt2y (V, 5,1)
174 где R2— постоянная, которая может иметь как конечное — положительное или отрицательное, — так и бесконечно большое значение, a g(t) — некоторая функция времени.
Физические предпосылки, которые соответствуют указанным постулатам и приводят к линейному элементу (V, 5,1), подробно рассмотрены Толмэном в указанной работе [130], а также в его книге 188].
Если произвести подстановку
которая, как нетрудно убедиться, дает
то линейный элемент примет вид
ds2 = — Rleg Щ2 4- sin2 ^dQ2 4- sin2 г|) sin2 Qdy2) + dt*. (V, 5,2)
Мы будем писать его в более общей форме
ds2 = — R2Yijdxi dx* + d/2, (V, 5,3)
в которой R — функция одного у// — функции пространственных координат хаУ о = 1, 2, 3. Приведем основные свойства модели, отвечающей линейному элементу (V, 5,1) В переменных
X = г sin 0 COS ф, у = г sin в sin ф, Z = TCOS в
этот элемент переходит в следующий
ds2 = - е^ 1 + ^2у2 (dx2 + dy2 + dz2) + dt\ (V, 5,4)
где г2 =X2 + у2 + Z2.
В каждый данный момент времени геометрия трехмерного пространства описывается квадратичной формой
do2 = (1 + X'2+?+Z'2 f2 (dx'2 + dy'2 + dz'2), (V, 5,5)
в которой R2 = Rfa, а координаты х', у', z' получаются из старых координат путем простого преобразования масштаба по формулам
вида х' =е2 X. Сравнивая (V, 5,5) с формулой (I, 2,25) главы I, мы приходим к заключению, что в каждый данный момент пространство модели (V, 5,1) является пространством постоянной кривизны
k = = (V, 5,6)
Возможны следующие частные случаи:
1) при Rl = со пространство имеет нулевую кривизну и является эвклидовым;
175 2) при > О кривизна пространства положительна и его геометрия является сферической (или эллиптической);
3) наконец, при Rl < 0 мы имеем гиперболическое пространство с отрицательной кривизной.
Кривизна пространства рассматриваемой обобщенной модели имеет одно и тоже значение во всех точках и во всех направлениях, отвечая условиям однородности и изотропности, но величина ее изменяется со временем. Кривизна будет постоянной только при R0 = оо. Однако, как показывает (Vt 5,4), расстояние между точками с заданными пространственными координатами и в этом случае представляет собой функцию времени.
Пространство сферической модели в каждый момент характеризуется конечным объемом, тогда как объем пространства эвклидовой или гиперболической моделей будет бесконечно большим.
Отметим еще, что при вещественном конечном R0 (сферическая модель) каждое радиальное направление является замкнутым и
характеризуется полной собственной длиной / = 2nR0 е2^, тогда как мнимому или бесконечному R0 соответствуют незамкнутые модели.
Составим уравнения поля для рассматриваемой модели. Не ограничивая себя какой-либо определенной системой пространственных координат, будем пользоваться линейным элементом в обобщенной форме (V, 5,3). Соответствующий этой форме метрический тензор пространственно-временного континуума имеет ковариантные компоненты
gij = — R*yih gl 4 = g44 = 1.
где ij = 1, 2, 3, у и — метрический тензор трехмерного пространства постоянной единичной кривизны.
X
Если, как и прежде, через Rij- обозначить тензор Риччи для
метрического поля у«/» то, повторяя вычисления предыдущего парада
графа и принимая во внимание очевидное соотношение Rij = — 2уц, можно получить
Rij = - (2 + 2R* + RR) yih Ru = О, R44 = 3RR'1.
Поэтому, воспользовавшись найденными ранее выражениями для ковариантных компонент Til = R2pyu> Ti4 = О, T44 = q и скаляра T =Q — 3р тензора энергии-импульса, легко убедиться в том, что десять уравнений поля сводятся в нашем случае к системе двух следующих уравнений
2 R* +RR + 2 = 4лR2 (Q-p) + А/?2,
(V.5,7)
SRR = — 4л (q 3р) + Л.
176 Если произвести подстановку R2 = Rl es, то эта система примет вид TS2 + Y 8 + 2^g = 4 *(Q-P) + Л, f^2 + fg = - 4я(е + Зр) + Л.
Наконец, разрешив ее относительно р, q, получим 8яр = - Kfe-*-g - ~g2 + Л,
Snq =3Ro2e~g + ^g2-A.
(V, 5,9)
В частном случае, при g = 0 уравнения (V, 5,9) дают
Л = 4я (q + Зр), RO2 = A- 8яр,
т. е. формулы (V, 3,5,6) статической модели Эйнштейна. В этом случае при Q > 0, р > 0 должно быть Л > 0. Это и послужило поводом для введения космологического члена, поскольку при A=O уравнения поля, как мы видели в § 2, не допускают решения, удовлетворяющего условию однородности и изотропности. Между тем уравнения (V, 5,9) при Q > 0, р > 0 позволяют найти функцию g(t) в каждом из трех случаев Л ~ 0. Таким образом, при переходе к нестатической космологии первоначальная форма уравнений поля оказывается свободной от гравитационного парадокса, и введение в эти уравнения космологического члена перестает быть необходимым.
Напишем соотношение между величинами q и р и функцией g еще в одной форме, вытекающей из (V, 5,9)» Если продифференцировать второе из (V, 5,9) по времени и внести затем g из равенства
