Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
U2 / ч — cos (о2, с)
1 —-
(IV, 3,8)
140 Предположим, что источник излучения и наблюдатель неподвижны. В этом случае формула (IV, 3,7) принимает вид
показывая, что гравитационное смещение спектральных линий не зависит от геометрических свойств пространства и определяется одним лишь различием временных масштабов в точках излучения и наблюдения.
В первом приближении, когда при решении уравнений поля сохраняются только члены линейные относительно ныотонианского потенциала, можно написать
Saa — I 2ф, g4i = 1 — 2ф,
где ф — ньютонианский потенциал. При этом формула (IV, 3,9) перейдет в следующую
Соотношение (IVt 3,10) выражает известный результат Эйнштейна, согласно которому относительное изменение длины волны в гравитационном поле пропорционально разности потенциалов в точках излучения и наблюдения.
Если наблюдатель находится вне поля тяготения (ф2 = 0), происходит «красное» смещение 6А, : X = фх , а при фх = 0, т. е., когда источник излучения находится вне поля, имеет место «фиолетовое» смещение 6Х : X = — ф2.
Как уже указывалось, некоторые авторы изучали фотометрические эффекты, вызываемые искривлением световых лучей в поле тяготения. Поскольку в настоящее время ни один из этих эффектов не может быть обнаружен практически, мы ограничимся здесь только двумя простыми примерами.
Пусть в точке А (см. рис. 13) находится наблюдатель, расположенный на расстоянии а от звезды. Обозначим через Н{а) поток излучения, измеренный этим наблюдателем. Пренебрегая искривлением световых лучей в поле тяготения звезды, мы оценим светимость звезды по формуле L' = 4яа2 //(a), тогда как в действительности светимость L будет несколько ниже, поскольку наблюдаемый в точке А поток H(а) вследствие искривления лучей окажется больше L
отношения --з.
4 ка?
Найдем соотношение между L, Lt.
(IV, 3,9)
ЬХ
— = фА — ф2.
(IV, 3,10)
§ 4. Фотометрические эффекты
141 Согласно (IV, 2,1) форма луча в поле тяготения звезды определяется уравнением
где C1 — длина перпендикуляра, опущенного из центра звезды на направление луча в удаленной от звезды области.
Считая расстояние а достаточно большим, имеем C1 = a sin а, где а — угол при точке А между лучом и направлением на центр звезды.
При принятом на чертеже выборе полярной оси имеем для луча, проходящего через точку А и какую-либо точку поверхности звезды
Направление луча на поверхности звезды можно задать углом 0, образованным лучом и внешней нормалью. Очевидно tg 0 = rdq>:dr = — udy: du.
tge == А * ==. (IV,4,1)
л/ ^
у a2 sin2 а 1 ^ R
Пусть ат — наибольшее значение а, которое соответствует лучу, соприкасающемуся с поверхностью звезды. Положив 0 = -^9 имеем согласно (IV, 4,1)
-L
Sinam = ^(1 ~Т) 2 ^ Sina0+^, (IV,4,2)
где Ct0 — угловая величина радиуса звезды без учета искривления лучей.
Допустим, что закон потемнения диска звезды к краю имеет вид / =/o/(cos0), где /0 — поверхностная яркость в центре диска. Поток излучения в точке А выражается формулой
ат г*
H (a) = 2я/0 I f (cos 0) cos a sin a da. о
142
Следовательно, При вычислений sforo интеграла удобнее перейти к переменной в. Из (IV, 4,1) следует
sin2(Z = Jsin2Q^l -^sin20~(sin20 + Tsin4в)' Дифференцируя это соотношение, имеем
D2 [ 4/7Z \
cos a sin ada = ^fl + sin2 01 sin 0 cos 0d0.
Поэтому написанное выше выражение для потока излучения в точке А приводится к величине
jt 2
H (а) = 2л/о§ J / (cos 0) ^ 1 + ^ sin2 ©J sin 0 cos 0d0.
0
Опуская релятивистскую поправку, зависящую от массы звезды, получим поток излучения, вычисленный без учета искривления лучей
я
2
H = 2л/о ^ ( f (cos 0) sin 0 cos 0d0. о
Таким образом,
j / (cos в) sin3 в cos Є<*Є
тР =1 -• (IV' 4'3)
2
j* / (cos в) sin 0 cos SdS о
Если, в частности, принять закон потемнения / (cos0) = 1 — и + -f- и cos0, где и — так называемый коэффициент потемнения, то получится
Я(а) = Я{ 1+?!.?=?-}. (IV, 4,4)
Вычисляя светимость звезды с помощью наблюденного потока Н(а) по обычной формуле, не учитывающей искривления лучей, имеем Lf = 4ла2Н(а), тогда как в действительности должно быть L = «= Ana2H.
Переходя к обычным единицам, в случае принятого закона потемнения, можно написать согласно (IV, 4,4)
-1???}- <iv'«>
143 15 0Iu
Возможные значения дроби не влияют на порядок эффекта,
поскольку границы этих значений, отвечающие крайним случаям и = 0 и и =1, равны 1,0 и 0,8 соответственно.
Для Солнца отношение (L' — L) : Lf составляет всего около 4 . 10~5. Даже для белых карликов, отличающихся сравнительно очень малыми размерами, это отношение остается вполне пренебрежимым. Так например, в случае звезды Ван-Маанена (R go 0,007 Rq1 Мяя 0,1 M л) оно имеет порядок 10~4.
Рассмотренный пример показывает, что поле тяготения звезды не может вызвать заметных фотометрических эффектов в излучении этой звезды.
Произведем количественную оценку эффекта, который должен иметь место в излучении одной звезды под влиянием поля тяготения другой звезды, расположенной на пути к наблюдателю. Как мы увидим, принципиально этот эффект может оказаться весьма значительным. Однако осуществление его требует выполнения специальных условий, которые практически приходится признать невозможными. Г. А. Тихов, посвятивший изучению этого эффекта несколько статей [94], называл его «космическим миражем».
