Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
133 С— начало координат, совпадающее с центром поля; CA, CB— асимптотические направления. При построении принято: т = 2,5, а = = 12,995, ф0= 0. Вычисления дают: ф'0 = 640°, rd =8,55, ф^ = = 140°, rm = 7,6, Фт= 320°.
Если при заданном а>3}/"Зт окажется ф'о—Фо = 2л, то асимптотические направления совпадают; луч имеет бесконечно удаленную двойную точку. При ф'о—ф0<2я луч не имеет двойных точек.
На рис. 11 изображена траектория без двойных точек при т = 2,5, а = 13,7.
Предположим, что т а. В этом случае для корней трехчлена можно принять приближенные значения
Рис. и.
т 1 _ т .1
__1__2т_
U3 — Orr, пі 1
вытекающие из приведенных выше формул тригонометрического решения.
При помощи этих значений получаем 1
У 2т (и3 — и) ~ 1 *-«• 4 2а1
Фо
я
2
(IV, 2,9)
Г —— і ^\ т Ji Л , /я \
J АФ 4 у ' a ^ AT' J ЛФ 2^ ^ ' ~а) * о о
Поэтому, согласно (IV, 2,7), для острого угла между асимптотическими направлениями имеем
4m (IV, 2,10)
о = :
Найдем, наконец, приближенное уравнение траектории при т < а. Как показывает каждая из формул (IV, 2,5), полярный
угол точки максимума, определяемой условием Ф = ^, равен
TC 2
фт = фо
2 ф0
U' ^Ф_ Г dO\
АФ J А Фу '
У 2т (U3-U1)
о о
Поэтому оба уравнения (IV, 2,5) можно объединить при помощи следующего
ф
±(Ф — Фт) =
У 2т (м3 — U1)
гіф _
ДФ J Ш)-
1D/'
(IV, 2,11)
134 Входящий в (IV, 2,11), эллиптический интеграл приближенно выражается формулой
о
Внося это значение, а также первое из соотношений (IV, 2,9) в точное уравнение (IV, 2, 11) имеем после упрощения
± (ф — фт) = л — 2Ф + ™ sin 2Ф,
откуда, с той же степенью точности, вытекает
cos (ф — фт) = — cos 2Ф — ~ sin2 2Ф.
С другой стороны, легко убедиться, что, ограничиваясь первой степенью отношения можно положить sin 2Ф = Sin (ф — фт), вследствие чего
cos (ф — фт) = — cos 2 Ф — Sin2 (ф — фт).
Исключая переменную Ф, окончательно получаем
" = С05(ф-фт), (IV, 2,12)
где
"t" Sin2 (ф фт)]*
Кривую, определяемую уравнением (IV, 2,12), можно приближенно рассматривать как гиперболу с переменными элементами. Вблизи центра поля эта кривая совпадает с гиперболой, имеющей полуоси А = ш, В = а1. В области, удаленной от центра, кривая
1 Заметим, что в пределах принятой точности эта гипербола совпадает с нью-тонианской. В самом деле, для гиперболической орбиты имеем
Aje2-I)
г 1 + е COS (ф — <рш)'
где А — действительная полуось, связанная со скоростью V соотношением K2 = Y (М + M') (7 + ?)
Принимая V-C при г = оо и вводя релятивистские единицы, получим A S= т + т'. Эксцентриситет выражается через длину перпендикуляра а, опу-
VrA2 4- а2
щенного из фокуса на асимптоту, при помощи формулы е = і--Г—.
г1
i/ m2 -1- а2
Опуская т'% имеем А = т, е — і-ZI— .
т
135 (IV, 2,12) превращается в гиперболу с полуосями А = 2т, В = а. Асимптотические направления первой гиперболы, имеющие
угловые коэффициенты образуют острый угол O1=
величина которого соответствует первоначальной (ошибочной) формуле Эйнштейна. Острый угол между асимптотическими направле-
Atti
ниями второй гиперболы равен O2=- что соответствует более
поздней формуле Эйнштейна.
На рис. 12 кривые I, II изображают предельные гиперболы для луча III; CA и CB — асимптотические направления. При построении принято т = 2,5, а = 10.
§ 3. Принцип Допплера
Предположим, что в точке X0I9 O = 1, ... 4 пространственно-временного континуума с заданным метрическим тензором некоторый источник радиации, движущийся по определенному закону, излучает импульс какой-либо заданной частоты v1. Пусть далее в точке х%, а = 1, ... 4 того же континуума излученный импульс принимается наблюдателем, Движущимся также по определенному закону, и оценивается частотой v2. Соотношение между частотами излучения и наблюдения, зависящее от законов движения источника и наблюдателя и от геометрии пространственно-временного континуума, мы и будем называть принципом Допплера, несколько обобщая таким образом классическое определение последнего.
Законы движения источника и наблюдателя зададим компонен-
„ Idxa\ Idx0 \
тами их пространственных скоростей [^J1, ^rJ2' а излученный и
наблюденный периоды обозначим соответственно через T1, т2.
Прежде всего заметим, что отношение этих периодов, как и в классической теории, можно заменить отношением соответствующих длин волн. В самом деле, если бы излученный и наблюденный периоды совпадали, то наблюдатель характеризовал воспринятый им импульс длиной волны X = T1V, где V — скорость света в точке наблюдения. Однако, в соответствии с его измерениями, он имеет X + ЬХ = X2V.
Поэтому отношение периодов равно
Т2 _ X + &Х т7 ~~ X
Периоды T1, т2, измеренные в масштабах источника и наблюдателя соответственно, являются собственными периодами. Они
IV / HHJ Рис. 12.
136 могут быть отождествлены с соответствующими значениями инвариантного линейного элемента T1=^Si, T2 = ds2.
Основная квадратическая форма ds2 = gijdx'dxi дает
