Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для рассмотрения общего случая предположим, что одночастотные колебания в системе со многими степенями свободы описываются следующей системой дифференциальных уравнений:
П
CftQX<2 = S/fe’K. + s%2' (Xl, ..., (20.1)
Q ~ 1
(?= 1, 2, ..., re) ,
переходящей при нулевом значении малого параметра г в систему линейных дифференциальных уравнений:
П
^-2сьЛ = ° (* = 1, 2,..., п) (20.2)
д = 1
с постоянными коэффициентами. Систему дифференциальных уравнений
248 ЭДН О ЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1ГЛ. IV
(20.2) будем в дальнейшем называть дифференциальными уравнениями невозмущенной системы.
Предположим, что в невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с некоторой частотой ш:
xk ~ afhei^wt+,'> -f- а'рк*е-'(ю1+1>) (20.3)
(k= 1, 2...., ге),
зависящие только от двух произвольных постоянных а, 6; здесь <pfe, <pfe* — собственные функции, характеризующие форму колебания, а значок * указывает на переход к комплексно-сопряженной величине.
Предположим также, что в невозмущенной системе единственным статическим решением будет тривиальное решение: хк — 0 (k — I, 2, ..., re) и что, кроме того, в ней невозможны незатухающие колебания с частотами кратными а) (условие отсутствия внутреннего резонанса).
При этих условиях будем искать решение невозмущенных уравнений (20.1), соответствующее одночастотному колебанию нашей системы со многими степенями свободы, с помощью разложений
xh = a?heil3l> + a'pft*e~i'P + (я, ф)+ е2г42> (а, ф) + ... (20.4)
(&= 1, 2, ..., ге),
в которых и'1’(а, ф), Mfe2)(a, ф), ... (А=1, 2, ..., ге) являются периодическими функциями угла ф с периодом 2%, а величины а и ф как функ-
ции времени определяются дифференциальными уравнениями:
~ =ei1(a) + eM2(a)+... , |
1 (20‘5>
-JL = ш + eSi + e2Bi (я) + _ j
Таким образом, как и в предыдущих случаях, мы здесь ставим задачу определения функций
нь’К Ф) 42’(а. ФЬ (& = 1, 2, ..г , ге), (20.6)
периодических, с периодом 2v, по отношению к ф и функций
Аг (а), А2(а), ...; Вх(а), Вг(а), .., (20.7)
таким образом, чтобы выражения (20.4) удовлетворяли бы уравнениям (20.1) всякий раз, когда а и ф удовлетворяют уравнениям (20.5).
Заметим, что, поскольку интегрирование уравнений (20.5) вводит только две произвольные постоянные, мы получаем с помощью выражений (20.4) приближенное представление не для общего решения уравнений (20.1), которое должно зависеть от ге произвольных постоянных, а лишь для двупараметрического семейства частных решений. Так как в нелинейных системах принцип суперпозиции не имеет места, то, исходя из различных частных решений, мы не можем непосредственно построить общее решение. Однако в ряде важных случаев двупараметрическое многообразие решений (20.4) обладает особым свойством сильной устойчивости, заключающимся в том, что любое решение уравнений (20.1) при начальных значениях, близких к начальным значениям нашего двупараметрического многообразия интегральных кривых (20.4), при увеличении t стремится к решениям, принадлежащим к семейству (20.4). Рассматрираемое многообразие как бы притягивает к себе все близкие к нему решения.
СОБСТВЕННЫЕ, ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
249
Собственно говоря, только в этих случаях исследование решений типа (20.4) и может представлять физический интерес. В дальнейшем в главе, посвященной математическому обоснованию, мы более подробно остановимся на указанном вопросе устойчивости многообразий типа (20.4) и на вопросе получения критериев, при выполнении которых представляет интерес рассмотрение двупараметрических семейств типа (20.4).
Прежде чем переходить к решению поставленной задачи —определению функций (20.6) и (20.7), сделаем некоторые предварительные замечания о свойствах колебаний в невозмущенной системе, описываемой уравнениями (20.2), которыми нам придется воспользоваться.
Заметим прежде всего, что для системы однородных алгебраических
уравнений
2 (&кцР-сЪ<1)Х9 = 0 (20-8)
Q= 1
(к = 1, 2, ..., п),
где
_ | 1, если к = q , hq j 0, если кф q\ разрешающий определитель
D{p) = D\\bhqp-chq\\ (20.9)
в соответствии со сделанными предположениями о наличии в системе одночастотного колебательного режима имеет два простых сопряженных чисто мнимых корня р = + т и р = — i«) и, кроме того, значения р = 0 и р= ± irrrn (где «г —любое целое число, отличное от единицы) не являются корнями уравнения D(p) = 0, т. е.
0(1тш)ф0, (20.10)
где — оо < »г < со, тФ ± 1.
Обозначим нетривиальные решения системы уравнений (20.8) для значений р= + iu> и р = — iu> соответственно через <рк и <pfe* (к = 1, 2, ..., п). Возьмем сопряженную с (20.8) систему алгебраических уравнений
П
2 (М + ^ьК^О (20.11)
9 = 1
и обозначим ее нетривиальные решения для значений p=-\-mvip=—w соответственно через Хп и (^=1> 2, ..., п).
ВвеДя эти обозначения, рассмотрим вынужденные колебания, вызываемые в невозмущенной системе (20.2) внешними гармоническими силами
P^gimwt
Эти колебания описываются системой дифференциальных уравнений
П
^-2с*л=^в<т”'- (20-12>
9=1
Как известно, в случае, если т — любое целое положительное или
