Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В нелинейной колебательной системе дело обстоит иначе. Как будет показано ниже, при изменении рассматриваемых параметров колебательной системы по гармоническому закону с частотой, для определенности, например, равной или близкой к удвоенной собственной частоте системы, наступает резонанс. В данном случае возможны устойчивые режимы стационарных колебаний.
В качестве простейшего примера рассмотрим колебательную систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:
Предположим, что колебания, описываемые уравнением (17.68), близки к гармоническим. Тогда решение уравнения (17.68), соответствующее наличию в системе основного демультипликационного резонанса, ищем в виде
где согласно (14.25) а и & должны удовлетворять следующей системе уравнений:
Для получения стационарных значений амплитуды и фазы колебания приравняем правые части системы (17.70) нулю.
Получаем соотношения:
N
+ to2 (1 — h cos vi) х -f 28 -^ + = 0.
(17.68)
(17.69)
(17.70)
(17.71)
Исключая из них фазу находим с точностью до величин первого порядка малости включительно следующее соотношение между ампли-
220
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
тудои а и частотой модуляции v:
3Т -
— О) -f
V-
¦ 4v28:
(17.72)
При помощи этой зависимости строим резонансную кривую.
В случае, если у > 0, получим резонансную кривую, приведенную на рис. 104. Анализируя эту кривую, видим, что при увеличении v, начиная с малых значений, колебания в системе будут отсутствовать, пока v но достигнет значения, соответствующего точке А. При достижении v точки А в системе возникнут колебания, и при дальнейшем увеличении v амплитуда этих колебаний будет изменяться вдоль верхней ветви резонансной кривой АВ. В точке В колебания потеряют свою устойчивость и сорвутся.
При уменьшении v, начиная с больших значений, колебания скачком возбудятся в точке С (жесткое возбуждение), и при последующем уменьшении v амплитуда колебаний будет изменяться вдоль кривой АВ.
В случае, если у < 0, получим аналогичную картину, только резонансная кривая будет наклонена в сторону малых значений v (рис. 105).
Для определения границ зоны синхронизации необходимо приравнять правую часть выражения для а нулю.
В первом приближении зона резонанса будет:
W3 - у У /г2 О)4 - 16ода < < 0,2 + i_ У hW _ 16j)283, (17.73)
и потому ширина резонансной зоны
Д = |/ /г2 О)4 - 16<о2а2. (17.74)
Заметим, что наличие затухания уменьшает интервал АС, внутри которого возникает параметрический резонанс.
Очевидно, что А будет действительным, если выполняется неравенство
h >~, (17.75)
которое, как указывалось, определяет минимальную глубину модуляции, необходимую для параметрического резонанса при данном затухании.
| 18] ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 221
Рассмотрим еще случай параметрического резонанса в колебательной системе с нелинейным трением.
В случае параметрического возбуждения контура с электронной лампой (рис. 23) уравнение колебаний будет:
5 + 2 (Х0 + V2) ^ +<»2 (1 - h cos vi) г = 0.
(17.76)
Допустим, что при отсутствии параметрического возбуждения, т. е. при /г = 0, система несамовозбужденная. Для этого необходимо, чтобы Х0 > 0.
Составим уравнения первого приближения. Имеем:
da
dt
. \*а3 ййш2 .
¦ X „ —- - ------------------»— sm 2>)
о 4 2v
ha)2
(17.77)
Рис. 106.
Для определения стационарных значений а и 9 приравниваем правые части уравнений (17.77) нулю:
Х0а ¦
\2а3 , aliufi
"Т“ + '27“
Лю2 2v
V
ш-т-
sin 2& = 0,
cos 29- = 0.
(17.78)
Исключая из полученных соотношений &, находим с принятой нами степенью точности следующую зависимость между амплитудой колебания а и частотой изменения параметра v:
V*
ЛАо4 — 4 ( и)а — (
(17.79)
При помощи этой зависимости можем построить резонансную кривую (рис. 106), а также найти условия параметрического возбуждения, максимальную амплитуду возбуждения, границы резонансной области и т. д.
§ 18. Воздействие периодических сил на релаксационную систему
Остановимся теперь на исследовании случая воздействия внешней возмущающей силы на релаксационную колебательную систему, характеризуемую уравнением типа
^ = ф (ж) + гЕ cos vi, (18.1)
где, как и во второй главе, Ф(ж) представляет определенною на интервале (а, Ъ) двузначную функцию.
Для построения решения уравнения (18.1) целесообразно прежде всего преобразовать уравнение (18.1) с целью исключения из него неоднозначной функции Ф(х). Для этого будем исходить из некоторого частного периодического решения уравнения свободных релаксационных колебаний:
dx
222
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[гл. ш
Для определенности примем то из решений уравнения (18.2), в котором величина ж принимает минимальное значение нри t = 0.
Обозначая через <» частоту свободных релаксационных колебаний,
dx dt
t
напишем это периодическое решение в виде
x — z (mt), (18.3)
х где z (<р) — некоторая периодическая функция <р с периодом 2тс.
Принимая во внимание результаты § 10, легко видеть, что производная ъ' (<р) в течение одного периода дважды терпит разрыв и что но абсолютной величине она всегда больше некоторой положительной постоянной.
