Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что для исследования этой важной и трудной проблемы нахождения асимптотических приближений при наличии большого параметра (или малого параметра перед старшей производной) можно с успехом применять эффективные асимптотические методы, разработанные А. Н. Тихоновым [43] и его учениками.
ГЛАВА III
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
§ 13. Асимптотические разложения в «нерезонансном» случае
Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем, находящихся под воздействием внешних периодических сил, зависящих явно от времени.
Будем рассматривать систему с одной степенью свободы, для которой дифференциальное уравнение движения можно представить в виде
^ + ш*Я = е/(\*, -g-), (13.1)
где е — малый положительный параметр, f( 'it, х, —^ — функция, периодическая по отношению к -it с периодом 2тг, которая может быть представлена в виде
п——N
/ С? X *\
При этом будем предполагать, что коэффициенты /п I х, ) в конечной
сумме (13.2) являются некоторыми полиномами по отношению к ж и ~ .
Рассматриваемое уравнение (13.1) может быть, очевидно, интерпретировано как уравнение колебаний некоторой механической системы единичной массы с собственной частотой <в, находящейся под воздействием
малого нелинейного возмущения e/^vZ, х, -g-'), явно зависящего от времени. С многочисленными примерами колебательных систем, описываемых уравнением такого вида, мы уже познакомились во введении.
Прежде чем переходить к изложению методов нахождения асимптотических решений для системы, описываемой уравнением (13.1), остановимся еще раз на анализе влияния периодического воздействия на систему, исходя из физических соображений.
При отсутствии возмущения, т. е. при е = 0, получаем чисто гармонические колебания:
х = a cos (wt + 9),
— — аш sin (coZ -j- 9),
где а и 9 — произвольные постоянные.
Очевидно, что если мы, применяя метод, изложенный в предыдущей главе, будем определять функции н1, и2, ..., то, ввиду зависимости
внешнего воздействия от времени, в разложении функции s/^vZ, х, —~
156
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
после подстановки в нее х = a cos (оо? ср), sin (wt ср)) в ряд
Фурье, благодаря ее периодичности по Ч, появятся члены, содержащие sift (/iv -j- mw) t и cos (m -f- mu>) t, где n и m — целые числа. Таким образом, в правых частях дифференциальных уравнений, определяющих их, и2, появятся гармонические компоненты с комбинационными
частотами вида (т + тш).
Совершенно ясно, что когда одна из таких комбинационных частот сделается близкой к собственной частоте системы, то соответствующая гармоника возмущающей силы может оказать значительное влияние на характер колебания, даже если в выражении приложенной возмущающей силы соответствующий коэффициент является малым (амплитуда соответствующей гармоники мала). Разумеется, чем меньше этот коэффициент, тем меньше должна быть расстройка между собственной н внешней частотой для того, чтобы это влияние было заметным. Таким образом, как это уже нами было установлено выше, в нелинейных колебательных системах резонансные явления имеют место не только при
ш v, как в обычных линейных системах, но и в случае, если одна из
комбинационных частот внешего воздействия близка к собственной частоте системы, т. е. если т + тш ^ оо.
Таким образом, в нелинейных системах резонанс может наступить
при выполнении условия
V~-|-<0f (13.3)
где р и q — целые взаимно простые числа (обычно небольшие).
Введем следующую классификацию различных случаев резонанса:
1) p = q— 1, т. е. v я» оо; такой случай будем называть «главным»
или обыкновенным резонансом;
2) <7=1, т. е. v ^ рт или оо ^; такой случай будем называть резонансом на обертоне собственной частоты, или демультипликационным резонансом (дробным, поскольку колебания здесь совершаются с частотой, равной дробной части внешней частоты), или параметрическим резонансом. Резонанс этого типа возможен и в линейных системах с периодическими коэффициентами;
3) р = 1, т. е. оо ^ gv; такой случай будем называть резонансом на обертоне внешней частоты.
Здесь необходимо отметить следующее обстоятельство. Так как ряд могут принимать всевозможные целочисленные значения, то множество
является плотным и, следовательно, отношение ~ при соответствующем выборе чисел р и q может приблизиться к любому наперед заданному числу. Поэтому может создаться впечатление, что в нелинейной системе возможен резонанс при произвольных р и q. В действительности же это не так, потому что не все возможности, указанные формулой (13.3), осуществимы, иначе говоря, не при всяких р и q имеет место соответствующий резонанс. Практически разложение (13.2) имеет конечное число членов, и числа р и q вполне определяются характером исследуемой колебательной системы.
Выясним теперь, какие резонансы проявляются в первом приближении.
Как и обычно, будем предполагать, что колебания в первом приближении остаются по форме чисто гармоническими и на каждом отдель-
i 13],
«НЕРЕЗОНАНСНЫЙ» СЛУЧАЙ
157
ном цикле с достаточной точностью могут приближаться обыкновенной гармоникой; малая же возмущающая сила, какой бы сложной структуры она ни была, может влиять на ход колебаний, вызывая лишь медленное, но систематическое изменение амплитуды и фазы колебания (медленное по сравнению с естественной единицей времени —с периодом цикла).
