Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
V = f (a cos 9- -f- $),
где
2 008 И-?(*“)).
(п=0, 2, Зт ...)
но так как ? должно быть мало по сравнению с первым членом, то напряжение V будет:
V = / (a cos &) + %f (a cos г}).
Разложив теперь полученное выражение в ряд Фурье, находим:
V = 2 fn (а) cos +
(п^О)
+ { S [®n (а) cos «9 -\-Gn (a) sin иЭ-] +Ф0 (а)}, (7.52)
(П&1)
где сумма в фигурных скобках дает разложение в ряд Фурье функции
\f (a cos &).
106 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ |Гл. I
Нас особо будут интересовать значения Фг (а) и G1(a). Приведем поэтому соответствующие формулы:
2те
Ф1(а) = А ^ ?/' (acos&) cos&d&,
о
2п
Рассматривая опять стационарные колебания, приравняем первую гармонику напряжения из разложения (7.52) первой гармонике напряжения на линейном элементе:
Z (гсо) a cos (со2 ф) = R (со) a cos (со2 4- ф ср (со)), после чего находим:
fx (a) cos (wt + ф) + Фг (a) cos (со2 ф) (a) sin (wt + ф) =
= R(w)a cos (wt + ф + 9 (со)),
откуда получаем уточненные уравнения гармонического баланса:
R (со) a cos 9 (со) = /х (а) -(- Фх (а),
Л (со) a sin 9 (со) = —G1(a),
или
X (со) = 7l (а) + Фг (а) ,
У (со)
_ С, (а)
а
(7.53)
Упростим теперь выражения для Фх(а) и G1(a). Имеем:
(°) = 2 stS) v 5 f' (acos&)cos&cos(w&-<?(H)^:=
(тиЫ) О
dfn (а)
1 da . ч
=т 2 008?(”“)•
(пф 1)
2тс
Gi(a)= 2 \ f‘'(“c°s&)sin&sin(ra&-<p(na>))d& =
(,пф1) О
2тс
= 2 ^с08?(ш)1 ^ /'(acos»)sin»smn»d».
П=?1) О
Но
2те 2г. ¦
^ С (a cos &) sin &sin пЬ db = — — ^
1 f df (a cos ft) .
а»
о
2тс
sin
§ 8] СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ 107
т. е.
2 ТЩЁfcos<p(n«>).
(п=г2)
Таким образом, уточненные уравнения гармонического баланса для стационарных колебаний будут:
dfl (°)
(п=0. 2,3,...)
= ~ 2 -^§i^ycos?(m)-
(п>2)
(7.54)
Сравнивая их с уравнениями первого приближения (7.49), видим, что здесь уже отражено влияние обертонов колебаний. Полученными формулами (7.54) можно также воспользоваться для более детального выяснения пределов применимости уравнений первого приближения.
Отметим еще, что приведенные результаты можно было бы получить и методом асимптотических разложений. Для этого целесообразно представить основное уравнение колебательного процесса (7.47), например, в форме
{(Р2 + О Q (Р) + (Р)} I = е/ (/)¦ (7.55)
§ 8. Нелинейные колебательные системы с медленно меняющимися параметрами
Рассмотрим теперь нелинейную колебательную систему, у которой некоторые параметры, например масса системы, жесткость, коэффициент трения и др., медленно изменяются со временем («медленно» по отношению к естественной единице времени — периоду собственных колебаний). В этом случае мы приходим к рассмотрению следующего нелинейного дифференциального уравнения с медленно меняющимися коэффициентами:
i[m^dTt]+k^x-sf (Х’Х’Ю’ (8Л)
в котором, как и ранее, з — малый положительный параметр, t=e2 — «медленное» время.
Построение приближенных решений уравнения (8.1) не вызывает дополнительных принципиальных затруднений и может быть осуществлено с помощью изложенного нами выше асимптотического метода. Отметим, что для построения асимптотических рядов необходимо, чтобы
f doc \
коэффициенты уравнения (8.1) /и (г), k(t), а также flz,x, — ) имели
достаточное число производных по t для всех конечных значений -с, кроме того, для любых t на интервале 0^.i;<L (только на этом интервале времени ^0, ~ ^ мы будем рассматривать колебательный процесс,
описываемый дифференциальным уравнением (8.1)) к(ъ)ф0, т (т) Ф 0 и положительны.
Совершенно очевидно, что если в коэффициентах уравнения (8.1) считать -с некоторым постоянным параметром, то мы получаем уравнение,
108
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
Егл. г
рассмотренное нами в § 1, для которого построены асимптотические формулы, учитывающие все те дополнительные явления, которые возникают в колебательной системе из-за нелинейного возмущения. При х = st, т. е. если в исследуемой нелинейной колебательной системе некоторые параметры будут изменяться со временем, хотя и медленно, естественно ожидать еще некоторых дополнительных изменений в решении, не наблюдаемых в колебательных системах с постоянной массой, жесткостью и т. д. Такими дополнительными явлениями будут, например, зависимость «собственной» частоты от «медленного» времени и др.
Учитывая все это, естественно искать общее решение уравнения 8.1) в виде разложения:
в котором м1('с,а, <]>), и2 (х, а, <]>),. .. являются периодическими функциями угла ф с периодом 2тс, а величины а и ф как функции времени определяются уже следующими дифференциальными \ равнениями:
ной системы. Таким образом, как и в § 1, задача построения асимптотических приближенных решений уравнения (8.1) сводится к определению выражений для функций
и последующему интегрированию системы уравнений (8.3), определяющей амплитуду и полную фазу колебания.
Как и в § 1, для однозначного определения функций, стоящих в правых частях уравнений (8.3), необходимо наложить дополнительные условия на функции u1(z, а, ф), и2(х, а, ф), . ¦ . В качестве таких условий принимаем опять-таки условия (1.8), которые должны в данном случае выполняться для любых х на интервале 0 <x<L. После сделанных предварительных замечаний приступим к определению функций
