Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду того, что
2тс
— (Ео + а cos 'с) sin2 id-t — f (Е0 -f- a cos ft)
о
(0<»<2тс),
F (а) „
выражение —можно назвать средней крутизной лампы.
Поэтому первый графический метод иногда называется методом колебательной характеристики, второй — методом средней крутизны.
86
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
ВиУЛ -JJJU) IX
данном примере параметр = ^—.
В настоящем параграфе мы подробно рассмотрели первое уравнение системы (1.3), выражающее зависимость амплитуды от времени и тем самым характеризующее свойства колебательного процесса с точки зрения его амплитуды.
Что касается второго уравнения системы (1.3), то оно характеризует частотные свойства колебаний.
Согласно этому уравнению мгновенная собственная частота колебаний равна ш (а). Поэтому в случае стационарных колебаний ш(а),
являясь постоянной, будет обычной собственной частотой.
Легко видеть, что собственная частота со (а), а тем самым и период
Т = стационарных колебаний, зависит от амплитуды. Таким образом,
вообще говоря, нелинейные колебательные системы не изохронны.
Как мы видели выше, в некоторых важных частных случаях нелинейная колебательная система в первом приближении может быть изохронной.
В предыдущих параграфах нами приведен метод построения приближенных решений для уравнений типа (1.1). Построены первые и высшие приближения для различных частных случаев уравнения (1.1), а также произведены расчеты для конкретных примеров. Как мы убедились выше, во всех случаях решение нелинейного дифференциального уравнения типа (1-1) заменяется решением двух уравнений первого порядка, определяющих амплитуду и фазу колебания.
Таким образом, для того чтобы построить приближенное решение с определенной, наперед заданной точностью, нам необходимо составить уравнения типа (1.5) и после этого найти из них выражения для амплитуды и фазы как функций времени.
Для определения приближенных решений, соответствующих установившемуся режиму в колебательной системе (стационарным колебаниям), необходимо приравнять правую часть уравнения (5.1) нулю, так как при стационарном режиме амплитуда постоянна и, следовательно, производная от нее равна нулю. Из полученного алгебраического уравнения находим стационарные значения амплитуды. Однако для построения приближенных решений, соответствующих непосредственно стационарным колебаниям, можно указать более простой способ, чем изложенный выше. Рассмотрим сначала уравнение консервативной колебательной системы (2.1), которое можно записать в виде
Согласно результатам § 2 стационарное решение этого уравнения во втором приближении имеет вид:
§ 6. Построение стационарных решений
(6.1)
СО
/„ (a) cos п (wt + ср) га2 — 1
71 — 0
У
(
(6.2)
J
5 6] ПОСТРОЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 87
гДе /п (а) (п = 0> 1> 2, ...) —коэффициенты Фурье в разложении
)
/ (a cos ф) = ^ /п(а) cos дгф,
71=0
V
(6.3)
а и ср — постоянные интегрирования, определяющиеся начальными значениями.
Исходя из выражений (6.2), естественно для получения высших приближений, соответствующих стационарному режиму, воспользоваться следующим приемом.
Представим решение уравнения (6.1) в виде x = z(w ?+<р), где z (wt + ф) — периодическая функция wt + ср с периодом 2иг.
Заметим, что x = z(wt-\r<f) будет удовлетворять уравнению (6.1) только тогда, когда z(cni-(-<p) удовлетворяет уравнению
—о d2z
ш
2-^2- + «>2z = s/(z). (6.4)
Решение уравнения (6.4) z = z (ф), ф = ш? + <р, а также выражение для частоты колебания со естественно искать в виде разложений
ОО
2(Ф)= 2 вПМФ). (6-5)
п=0
ш*= J s"an, (6.6)
п=0
коэффициенты которых определим, подставив (6.5) и (6.6) в (6.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра г, причем потребуем, чтобы гп(ф) были периодическими функциями ф с периодом 2тс.
Произведя подстановку, получаем следующие уравнения:
dtZ0 a
а0 ~Щ? + ш zo = 0,
в,ггг „ . dsz0
а0 dty* + Ш Z1 — / (Zo) ai ^2 •
dtz, , „ ,, , . dtZn d2z,
a° ~Ц2 + ш z2 — / (zo) zl — a2 -jp- — al >
(6.7)
d2z3 „ ,, . 1 „ d2z0 rf2Zi
a° +“ Z3 —1 (Zo)Z2-t-y/ (Zo) zl — a3 7^2- a2 ^2 —ai^2 >
Определяя из первых iV+l уравнений системы (6.7) функции z9, zlt z2.......Zjv, а также величины a0, a1; a2, ..., ajy, можем соста-
вить выражение
N _
X= 2 ~nzn(mt + ?)’ (6-8)
n=0
где
s"an>
??=0
88
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
ЕГЯ. I
которое будет удовлетворять уравнению (6.1) с точностью до величин порядка малости siV+1 и, следовательно, может рассматриваться как N 1-е приближение решения уравнения (6.1), соответствующее стационарным колебаниям. Определение функций 2п(шг-{-<р) и величин ап(га = 0, 1, 2, ...) из уравнений (6.7) может быть произведено, вообще говоря, неоднозначно. Для того чтобы эти величины были определены однозначно, необходимо наложить некоторые дополнительные условия.
Потребуем, чтобы zn (ф) (га=1, 2, 3, ...) не имели в своем составе основной гармоники аргумента ф. Из первого уравнения (6.7) находим:
z0 (<]>) = a cos ф, а0 = ш2. (6.9)
Подставляя (6.9) во второе уравнение системы (6.7), имеем:
ш2 (4^+zi}=/ (а c°s ф)+aia c°s ф 10)
